Để giải phương trình \( x \cdot 5.2^2 + [x + 3] = 5^2 \), trước tiên chúng ta cũng cần hiểu rõ các thành phần trong phương trình.

1. **Tính giá trị của \(5^2\)**:
\[
5^2 = 25
\]

2. **Tính giá trị của \(5.2^2\)**:
\[
5.2^2 = 27.04
\]

Thay các giá trị này vào phương trình, ta có:
\[
x \cdot 27.04 + [x + 3] = 25
\]

**Ghi chú**: Nếu ký hiệu \([x + 3]\) là phần nguyên (hoặc làm tròn xuống) của \(x + 3\), ta gọi nó là \(\lfloor x + 3 \rfloor\).

Phương trình trở thành:
\[
27.04x + \lfloor x + 3 \rfloor = 25
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau cho \(x\):

- Gọi \( \lfloor x + 3 \rfloor = n \), trong đó \(n\) là số nguyên. Từ đó ta có:
\[
n = \lfloor x + 3 \rfloor \implies n \leq x + 3 < n + 1 \implies n - 3 \leq x < n - 2
\]

Thay vào phương trình:
\[
27.04x + n = 25 \implies 27.04x = 25 - n \implies x = \frac{25 - n}{27.04}
\]

3. **Xác định giá trị của \(n\)**:

Chúng ta cần đảm bảo \(n\) và \(x\) là nhất quán. Thay \(x = \frac{25 - n}{27.04}\) vào bất đẳng thức \(n - 3 \leq x < n - 2\):
- Từ \(n - 3 \leq \frac{25 - n}{27.04}\):
\[
27.04(n - 3) \leq 25 - n \implies 27.04n - 81.12 \leq 25 - n \implies 28.04n \leq 106.12 \implies n \leq \frac{106.12}{28.04} \approx 3.79
\]
Do đó, \(n \leq 3\).

- Giờ kiểm tra \(x < n - 2\):
\[
\frac{25 - n}{27.04} < n - 2 \implies 25 - n < 27.04(n - 2) \implies 25 - n < 27.04n - 54.08 \implies 25 + 54.08 < 28.04n
\]
\[
79.08 < 28.04n \implies n > \frac{79.08}{28.04} \approx 2.82
\]
Do đó, \(n \geq 3\).

Tổng hợp lại, ta có \(n = 3\).

4. **Tính giá trị của \(x\)**:
\[
x = \frac{25 - 3}{27.04} = \frac{22}{27.04} \approx 0.813
\]

5. **Bây giờ kiểm tra xem \(n\) có đúng với phần nguyên không**:
\[
\lfloor x + 3 \rfloor = \lfloor 0.813 + 3 \rfloor = \lfloor 3.813 \rfloor = 3
\]

Và điều đó là đúng. Giá trị \(x\) cuối cùng sẽ là:
\[
\boxed{0.813}
\]