Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm \( B, N, M, C \) cũng thuộc một đường tròn.

1. **Hình chiếu vuông góc**: Gọi \( O \) là tâm đường tròn, các điểm \( B, N, M, C \) lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến \( AE, AF \) với các đường thẳng \( OB, OC \).
2. **Tính chất dây cung**: Theo tính chất của các tiếp tuyến, ta có \( OA = OE = OF \). Do đó, tam giác \( OAB \) và \( OAC \) đồng dạng.
3. **Suy ra từ định lý**: Sử dụng Định lý tiếp tuyến từ \( A \) đến đường tròn \( O \), ta biết rằng các góc \( \angle OAB \) và \( \angle OAC \) sẽ bằng nhau, do đó \( B, N, M, C \) nằm trên một đường tròn.

### b) Chứng minh \( IK \parallel OI \).

1. **Xây dựng hình**: Đặt \( DK \) là đường phân giác của \( \angle EDF \). Theo định nghĩa phân giác, ta có:
\[
\frac{ED}{DF} = \frac{EK}{KF}
\]
2. **Áp dụng các tính chất tương ứng**: Do \( DK \perp EF \), ta có thể sử dụng tính chất tương tự của các tam giác tương ứng để thiết lập tỷ lệ cạnh.
3. **Sử dụng định lý Phân giác**: Áp dụng định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{OB}{OC} = \frac{EK}{KF}
\]
4. **Kết luận**: Từ đó, suy ra \( IK \parallel OI \) vì hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Hoàn thiện bài toán như vậy, bạn có thể dễ dàng dụng chuyển phát giữa các mạch logic trong hình và sử dụng các định lý cơ bản trong hình học. Nếu bạn cần thêm chi tiết vào từng bước, hãy cho mình biết nhé!