Để tìm kích thước \( x \) sao cho hộp không nắp tốn ít bìa các tông nhất, ta sẽ giải quyết qua các bước sau:

1. **Xác định thể tích**:
- Thể tích của hộp được cho là \( V = x^2 h = 4000 \) cm³.
- Từ công thức này, ta có thể tìm chiều cao \( h \):
\[
h = \frac{4000}{x^2}
\]

2. **Xác định diện tích bìa**:
- Diện tích bìa của hộp không nắp được tính bằng diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên:
\[
S = x^2 + 4xh
\]
- Thay \( h \) vào phương trình diện tích:
\[
S = x^2 + 4x \left( \frac{4000}{x^2} \right) = x^2 + \frac{16000}{x}
\]

3. **Tìm cực tiểu của diện tích**:
- Để tìm giá trị \( x \) làm cho diện tích \( S \) nhỏ nhất, ta sẽ tính đạo hàm và tìm cực trị.
- Tính đạo hàm của \( S \):
\[
S' = 2x - \frac{16000}{x^2}
\]
- Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm nghiệm:
\[
2x - \frac{16000}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 16000 \Rightarrow x^3 = 8000 \Rightarrow x = 20
\]

4. **Xác định chiều cao tương ứng**:
- Tính chiều cao \( h \) khi \( x = 20 \):
\[
h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \text{ cm}
\]

5. **Kiểm tra tính chất cực trị**:
- Tính đạo hàm bậc hai để kiểm tra xem đây có phải là cực tiểu không:
\[
S'' = 2 + \frac{32000}{x^3}
\]
Với \( x = 20 \), \( S'' > 0 \) ⇒ đây là cực tiểu.

Vậy kích thước cạnh đáy \( x \) sao cho hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất là \( \boxed{20} \) cm.