Cho hình bình hành MNPQ. Gọi D,E lần lượt là trung điểm của MN,PQ

Chúng ta sẽ xác minh từng yêu cầu trong bài toán liên quan đến hình bình hành MNPQ.

### a) Chứng minh tứ giác MDPN là hình bình hành

1. **Định nghĩa hình bình hành**: Tứ giác là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối song song.
2. Xét tứ giác MDPN:
- D là trung điểm của MN, do đó \(MD = DN\).
- E là trung điểm của PQ, do đó \(PE = EQ\).
3. Ta cần chỉ ra rằng \(MD \parallel PN\) và \(DP \parallel MN\):
- MNPQ là hình bình hành => MN \parallel PQ và MN = PQ.
- Do D và E là trung điểm, ta có \(MD = DN\) và cùng hướng.
- Từ đó suy ra \(MD \parallel PQ\).
- Vậy \(MD \parallel PN\) (vì \(PN\) là đường nối từ một điểm trên cạnh MN đến cạnh PQ).
4. Kết luận: Tứ giác MDPN có hai cặp cạnh đối song song, do đó MDPN là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác MPFQ là hình bình hành

1. **Xét điểm F**: F là điểm đối xứng với N qua P.
2. Điều này có nghĩa là:
- \(PF = PN\) và \(MF = MN\) (vì đối xứng qua điểm P).
3. Ta cần chỉ ra rằng \(MP \parallel FQ\) và \(MF \parallel PQ\):
- Vì MNPQ là hình bình hành nên \(MN \parallel PQ\).
- Do D và E là trung điểm, \(DP \parallel MN\).
- Với F là đối xứng của N qua P và \(PF = PN\), \(FQ\) cũng sẽ song song với \(MP\).
4. Kết luận: Tứ giác MPFQ có hai cặp cạnh đối song song, do đó MPFQ là hình bình hành.

### c) Gọi I là giao điểm của MP và DE, chứng minh:

- Tại đây, ta có thể chỉ ra rằng DE là đường nối giữa hai trung điểm của cạnh MN và PQ.
- Theo tính chất của hình bình hành và đường thẳng đi qua các trung điểm, MP sẽ cắt DE tại I.
- Từ này, ta có thể suy ra rằng I chia DE thành hai đoạn bằng nhau do tính chất của trung điểm.

### d) Chứng minh DP // EF

1. **Từ các điểm**: D và E là trung điểm của MN và PQ.
2. Với F là điểm đối xứng của N qua P:
- D vì đường đi qua D và E là đường thẳng nối các trung điểm, do đó hay \(DE\) cắt tứ giác MPNQ.
3. Lại có \(DP \parallel EF\) vì cả hai đoạn này đều song song với cạnh PQ và MN.

Kết luận cuối cùng, ta có thể chứng minh rằng DP // EF.

Tóm lại, tứ giác MDPN và MPFQ đều là hình bình hành, giao điểm I chia đoạn DE thành hai phần bằng nhau, và DP // EF.