Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = 3 - x^2 + 2x \), chúng ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng một bậc hai.

Trước tiên, ta sắp xếp lại biểu thức:

\[
A = -x^2 + 2x + 3
\]

Tiếp theo, ta hoàn thành bình phương cho phần \( -x^2 + 2x \):

\[
A = -\left(x^2 - 2x\right) + 3
\]
\[
= -\left((x-1)^2 - 1\right) + 3
\]
\[
= - (x-1)^2 + 1 + 3
\]
\[
= - (x-1)^2 + 4
\]

Từ đó, ta thấy được rằng \( - (x-1)^2 \) lớn nhất bằng 0 (xảy ra khi \( x = 1 \)). Do đó,

\[
A \leq 4
\]

Giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 4 \) xảy ra tại \( x = 1 \).

### Chứng minh rằng \( x^2 - 6x + 10 \geq 0 \) với mọi \( x \):

Ta sẽ hoàn thành bình phương cho biểu thức:

\[
x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1
\]

Biểu thức \( (x - 3)^2 \) luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0) với mọi \( x \), và thêm 1 vào nó khiến cho biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Do đó:

\[
(x - 3)^2 + 1 \geq 1 > 0
\]

Vì vậy:

\[
x^2 - 6x + 10 \geq 0
\]

Chúng ta đã chứng minh rằng \( x^2 - 6x + 10 \) là dương với mọi giá trị của \( x \).