Để chứng minh phát biểu: \((2n + 6)\) chia hết cho \((2n - 1)(2n + 6)\) chia hết cho \((2n - 1)\), ta sẽ phân tích từng phần một.

1. **Phần đầu tiên: \(2n + 6\) chia hết cho \(2n - 1\)**

Chúng ta kiểm tra điều kiện chia hết bằng cách xét các giá trị tùy ý của \(n\):
\[
\text{Giả sử } n = 1 \Rightarrow 2n + 6 = 2 \cdot 1 + 6 = 8, \quad 2n - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1
\]
Tại đây, \(8\) chia hết cho \(1\).

\[
\text{Giả sử } n = 2 \Rightarrow 2n + 6 = 2 \cdot 2 + 6 = 10, \quad 2n - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3
\]
\(10\) không chia hết cho \(3\).

Do đó, không có cơ sở để khẳng định rằng \(2n + 6\) sẽ luôn chia hết cho \(2n - 1\) cho mọi giá trị của \(n\).

2. **Phần thứ hai: \((2n + 6)\) chia hết cho \((2n - 1)(2n + 6)\) chia hết cho \((2n - 1)\)**

Nếu \((2n + 6)\) là một số nguyên, ta cần kiểm tra xem \((2n - 1)(2n + 6)\) có chia hết cho \((2n - 1)\) không. Rõ ràng, \((2n - 1)(2n + 6)\) là tích của hai số, do đó nó sẽ chia hết cho \((2n - 1)\) (vì nó là một trong những yếu tố trong tích).

Tuy nhiên, bằng việc kiểm tra qua các giá trị cụ thể của \(n\) cho đến nay, không mang lại tính chất chung cho mệnh đề ban đầu.

### Kết luận:
Do điều kiện không được chứng minh hợp lệ cho mọi giá trị của \(n\), do đó phát biểu ban đầu không thể coi là đúng cho mọi trường hợp. Bạn có thể kiểm tra thêm một số ví dụ để có cái nhìn rõ hơn về điều kiện chia hết trong trường hợp cụ thể.

Nếu bạn cần một chứng minh hoàn chỉnh hơn hoặc có thêm thông tin cụ thể về điều kiện của \(n\), vui lòng cung cấp để chúng ta có thể tiếp tục.