Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, có BH = 4cm, HC = 6cm

Để giải bài toán của bạn về tam giác vuông \( \Delta ABC \) tại \( A \), với thông tin đã cho là \( BH = 4 \) cm và \( HC = 6 \) cm, chúng ta tiến hành các bước sau:

### a) Tính độ dài \( AH, AB, AC \)

1. **Độ dài \( AC \)**:
\[
AC = AB + BC = BH + HC = 4 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Độ dài \( AB \)**:
Sử dụng định lý Pytago:
\[
AB^2 + BH^2 = AC^2
\]
nhưng trước hết chúng ta tính \( AH \):

- Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, có:
\[
AH = \frac{BH \cdot HC}{AC}
\]
- Tính \( AH \):
\[
AH = \frac{4 \cdot 6}{10} = \frac{24}{10} = 2.4 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài \( AB \)**:
Sử dụng công thức Pytago:
\[
AB^2 = AC^2 - AH^2
\]
\[
AB^2 = 10^2 - (2.4)^2 = 100 - 5.76 = 94.24
\]
\[
AB = \sqrt{94.24} \approx 9.71 \text{ cm}
\]

### b) Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \). Tính góc \( \angle AMB \)

Thông qua đặc tính của tam giác:

- \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \).
- Ta có \( \Delta AMB \) có chiều cao \( AH \) và đáy \( MB \).
- Sử dụng định lý hình học, ta có thể tính:
\[
\angle AMB = 90^\circ - \angle ABM
\]

### c) Kẻ \( AK \perp BM \). Chứng minh \( \Delta BKC \sim \Delta BHM \)

1. **Chứng minh dựa vào tỷ số:**
- Ta có \( \angle BKC = \angle BHM = 90^\circ \)
- Từ đó ta có \( \Delta BKC \) và \( \Delta BHM \) có hai góc bằng nhau, do đó chúng đồng dạng:
\[
\Delta BKC \sim \Delta BHM
\]

Trên đây là hướng dẫn giải cho bài toán. Nếu cần thêm chi tiết cho từng phần, hãy cho biết!