Để giải phương trình \( \frac{3}{7}(x - \frac{14}{9}) = -\frac{11}{7}(x + \frac{14}{11}) \), trước tiên, ta nhân cả hai vế phương trình với 7 để loại bỏ mẫu số:

\[
3(x - \frac{14}{9}) = -11(x + \frac{14}{11})
\]

Tiếp theo, giải phương trình này:

\[
3x - \frac{42}{9} = -11x - \frac{154}{11}
\]

Tiến hành tối giản các phân số:

\[
3x - \frac{14}{3} = -11x - \frac{14}{1}
\]

Đưa tất cả các hạng tử có \( x \) về một bên và các hạng tử hằng số về một bên:

\[
3x + 11x = -14 + \frac{14}{3}
\]

\[
14x = -14 + \frac{14}{3}
\]

Chuyển đổi \(-14\) về cùng mẫu số với \(\frac{14}{3}\):

\[
-14 = -\frac{42}{3}
\]

Vậy ta có:

\[
14x = -\frac{42}{3} + \frac{14}{3} = -\frac{42 - 14}{3} = -\frac{28}{3}
\]

Tính \( x \):

\[
x = -\frac{28}{3 \cdot 14} = -\frac{28}{42} = -\frac{2}{3}
\]

Vậy giá trị của \( x \) là:

\[
\boxed{-\frac{2}{3}}
\]