CMR: aSn+2+bSn+1+cSn=0

Để chứng minh \( aS_{n+2} + bS_{n+1} + cS_n = 0 \), trước hết, ta sẽ tìm một cách viết khác cho \( S_n \).

1. **Chứng minh:**

Cho \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta có:

\[
S_n = x_1^n + x_2^n
\]

Sử dụng tính chất của nghiệm, ta biết hai nghiệm của phương trình có thể được liên hệ với bậc của chúng như sau:

- \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Ta sẽ tìm các giá trị \( S_{n+1} \) và \( S_{n+2} \):

\[
S_{n+1} = x_1^{n+1} + x_2^{n+1} = x_1^n x_1 + x_2^n x_2 = x_1 S_n + x_2 S_n = (x_1 + x_2)S_n
\]

Và:

\[
S_{n+2} = x_1^{n+2} + x_2^{n+2} = x_1^{n+1} x_1 + x_2^{n+1} x_2 = x_1 S_{n+1} + x_2 S_{n+1}
\]
\[
= (x_1 + x_2) S_{n+1} = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2) S_n) = (x_1 + x_2)^2 S_n
\]

Sau đó, theo công thức của các nghiệm, chúng ta có thể thay thế các giá trị \( S_n \), \( S_{n+1} \), và \( S_{n+2} \) vào phương trình đã cho:

\[
a S_{n+2} + b S_{n+1} + c S_n = 0
\]

Chuỗi lặp lại này cho thấy rằng \( S_n \) là một chuỗi có thể tìm thấy từ các nghiệm của phương trình, vì vậy,

\[
a S_{n+2} + b S_{n+1} + c S_n = a \cdot ((x_1 + x_2)^2 S_n) + b \cdot (-(\frac{b}{a})S_n) + c S_n = 0
\]

Từ đó, ta kết luận rằng \( aS_{n+2} + bS_{n+1} + cS_n = 0 \).

2. **Tính giá trị:**

Bây giờ, ta tính:

\[
\frac{1}{(1+\sqrt{3})^5} + \frac{1}{(1-\sqrt{3})^5}
\]

Ta sẽ đưa các biểu thức trên về dạng có mẫu chung để dễ tính toán hơn. Đặt \( a = 1+\sqrt{3} \) và \( b = 1-\sqrt{3} \), ta có:

\[
\frac{1}{a^5} + \frac{1}{b^5} = \frac{b^5 + a^5}{(a \cdot b)^5}
\]

Tính \( ab \):

\[
(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1 - 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad (ab)^5 = (-2)^5 = -32
\]

Tiếp theo, tính \( a^5 + b^5 \):

Áp dụng công thức:
\[
a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)
\]

Đầu tiên tìm \( a+b \) và \( ab \):

\[
a + b = (1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) = 2
\]

Hãy tính từng bậc: \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 2^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8 \).

Tiếp theo \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + b^2 - ab) = 2(8 + 2) = 20 \).

Tiếp theo \( a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 = 8^2 - 2(-2)^2 = 64 - 8 = 56 \).

Cuối cùng ta tính:

\[
a^5 + b^5 = 2(56 - 20 + (-2) + 20) = 2(56 - 2) = 2 \cdot 54 = 108
\]

Kết hợp lại:

\[
\frac{1}{(1+\sqrt{3})^5} + \frac{1}{(1-\sqrt{3})^5} = \frac{a^5 + b^5}{(ab)^5} = \frac{108}{-32} = -\frac{27}{8}
\]

Vậy,

\[
\frac{1}{(1+\sqrt{3})^5} + \frac{1}{(1-\sqrt{3})^5} = -\frac{27}{8}
\]