Cho tam giác ABC với trọng tâm G và I là trung điểm của AG .Goi K là điểm nằm trên cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K thẳng hàng, biết diện tích tam giác ABC có diện tích bằng 30. Tính diện tích tam giác AIK

Để giải bài toán về diện tích tam giác \( AIK \), ta có thể sử dụng thông tin đã cho và một số tính chất của tam giác.

1. **Sử dụng trọng tâm**: Trong tam giác \( ABC \), trọng tâm \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1. Vì \( I \) là trung điểm của \( AG \), nên \( AI = \frac{1}{3} AG \).

2. **Thẳng hàng**: Vì 3 điểm \( B, I, K \) thẳng hàng, theo tính chất đồng dạng thì tỷ lệ các chiều dài của tam giác sẽ duy trì, và diện tích sẽ được tính theo bình phương của tỷ lệ độ dài.

3. **Diện tích tam giác**: Diện tích tam giác \( ABC \) là 30, ta có công thức:

\[
S_{AIK} = \frac{1}{2} \cdot AI \cdot IK \cdot \sin(\angle AIK)
\]

4. **Phân tích tỉ lệ**: Để tính được diện tích tam giác \( AIK \), chúng ta cần biết rằng vì \( I \) là trung điểm \( AG \) và \( G \) là trọng tâm, nên diện tích tam giác \( AIG = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \times 30 = 10 \).

5. **Tìm diện tích \( AIK \)**:

- Vì \( K \) nằm trên cạnh \( AC \) và \( B, I, K \) thẳng hàng, nên ta có thể nói rằng tam giác \( AIK \) sẽ có diện tích bằng 1/3 diện tích tam giác \( AIG \) (do \( G \) chia cạnh thành ba phần bằng nhau, và \( I \) chia \( AG \) thành 2:1):

\[
S_{AIK} = \frac{S_{AIG}}{3} = \frac{10}{3}
\]

Vậy, diện tích tam giác \( AIK \) là:

\[
S_{AIK} = \frac{10}{3} \approx 3.33
\]

Do vậy, diện tích của tam giác \( AIK \) là \(\frac{10}{3}\).