Cho △ABC vuông tại A (AB > AC), trung tuyến AM. Kẻ MD ⊥ AB tại D, ME ⊥ AC tại E. Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho.

**a) Chứng minh tứ giác \( ADME \) là hình chữ nhật:**

1. **Xác định các điểm:**
- Xét tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là góc vuông, \( AB > AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Đường thẳng \( MD \perp AB \) tại \( D \).
- Đường thẳng \( ME \perp AC \) tại \( E \).

2. **Chứng minh các góc vuông:**
- Từ định nghĩa, \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \) nên:
\[
\angle ADM = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle AEM = 90^\circ
\]
- Do \( M \) là trung điểm, hai đoạn thẳng \( AM \) đều bằng nhau trong hai tam giác vuông \( AMD \) và \( AME \).
- Vậy \( AD = ME \) và \( AE = MD \) là hai cạnh đối diện của tứ giác.

3. **Kết luận:**
- Tứ giác \( ADME \) có bốn góc vuông, nên theo định nghĩa, \( ADME \) là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh \( DM = EC \) và 3 điểm \( D, O, C \) thẳng hàng:**

1. **Xác định điểm O:**
- Gọi \( O \) là trung điểm của \( ME \), suy ra \( MO = OE \).

2. **Chứng minh \( DM = EC \):**
- Xét tam giác \( ABC \), \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \).
- Từ đó, \( DM \) vuông góc với \( AB \), và \( EC \) vuông góc với \( AC \).
- Xét tam giác \( AEC \) và \( AMD \), thấy rằng:
\[
ME = \sqrt{MA^2 + AE^2} \quad \text{và} \quad MD = \sqrt{MA^2 + AD^2}
\]
- Do đó, \( DM = EC \) theo mô hình hình học.

3. **Chứng minh thẳng hàng:**
- Điểm \( O \) chia đoạn \( ME \) thành hai đoạn bằng nhau. Vì vậy, khi nối \( D \) và \( C \) sẽ không đổi hướng, từ \( DM = EC \) suy ra ba điểm \( D, O, C \) thẳng hàng.

**c) Chứng minh \( AK \perp IC \):**

1. **Xác định vị trí các điểm I và K:**
- \( I \) là điểm trên tia đối của \( HA \) sao cho \( HI = HA \).
- \( K \) là điểm trên tia đối của \( HB \) sao cho \( HK = HB \).

2. **Chứng minh vuông góc:**
- Vì \( I \) đối diện với \( A \) và \( K \) đối diện với \( B \), cho nên \( AK \) vuông góc với \( HI \) và \( IC \) vuông góc với \( HK \).
- Khi hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng (đường thẳng nối giữa hai điểm đối diện) sẽ tạo thành góc vuông.

3. **Kết luận:**
- Từ đó, ta có \( AK \perp IC \).

Trên đây là các chứng minh cho các phần của bài toán. Hy vọng rằng bạn sẽ tìm thấy các bước này hữu ích cho quá trình học tập của bạn!