Để chứng minh rằng tứ giác AECK là hình bình hành, ta thực hiện như sau:

**Gọi các điểm và tính chất:**
- Gọi E là trung điểm của CD và K là trung điểm của AB.
- Theo tính chất của hình bình hành, chúng ta có AB // CD và AB > CD.

**Chứng minh AECK là hình bình hành:**

1. **Các đường chéo AE và CK:**
- Vì E là trung điểm của CD và K là trung điểm của AB, nên chúng ta có:
\[
AE = EC \quad \text{và} \quad AK = KB
\]

2. **Sử dụng tính chất của hình bình hành:**
- Ta có thể chứng minh rằng:
\[
AE \parallel CK \quad \text{và} \quad AK \parallel EC
\]
- Do là trung điểm, các đoạn thẳng này cũng có cùng độ dài:
\[
AE = CK \quad \text{và} \quad AK = EC
\]

3. **Kết luận:**
- Do đó, tứ giác AECK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, từ đó suy ra AECK là hình bình hành.

**Chứng minh E, O, K thẳng hàng:**

1. **Xét ba điểm E, O, K:**
- Điểm O là giao điểm của AC và BD. Từ tính chất của hình bình hành và tính chất đường chéo, ta biết rằng đường chéo BD chia AC thành hai đoạn thẳng tỷ lệ.
- Đồng thời, do E và K là trung điểm của hai đoạn thẳng CD và AB, chúng tạo thành một đường thẳng trên AC.

2. **Kết luận:**
- Do đó, ba điểm E, O, K thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác AECK là hình bình hành và ba điểm E, O, K thẳng hàng.