Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng các dữ liệu đã cho và công thức tính vận tốc.

Giả sử quãng đường lên dốc từ A đến B là \( x \) km và quãng đường xuống dốc từ B về A cũng là \( x \) km. Khi đó, tổng quãng đường AB sẽ là \( x + y \) km, trong đó \( x \) là đoạn đường lên dốc và \( y \) là đoạn đường xuống dốc.

1. **Xác định thời gian và vận tốc:**
- Khi đi từ A đến B (lên dốc), người đi xe đạp mất 16 phút (tương đương \( \frac{16}{60} \) giờ). Vận tốc lên dốc là \( 10 \) km/h.
- Khi đi từ B về A (xuống dốc), người đi xe đạp mất 14 phút (tương đương \( \frac{14}{60} \) giờ). Vận tốc xuống dốc là \( 15 \) km/h.

2. **Áp dụng công thức vận tốc:**
- Thời gian đi lên dốc:
\[
t_1 = \frac{x}{10} \quad \text{(giờ)}
\]
- Thời gian đi xuống dốc:
\[
t_2 = \frac{y}{15} \quad \text{(giờ)}
\]
- Tổng thời gian đi từ A đến B:
\[
\frac{x}{10} + \frac{y}{15} = \frac{16}{60} = \frac{4}{15}
\]
- Tổng thời gian đi từ B về A:
\[
\frac{y}{10} + \frac{x}{15} = \frac{14}{60} = \frac{7}{30}
\]

3. **Giải hệ phương trình:**
Làm gọn hai phương trình trên:

- Phương trình 1:
\[
\frac{x}{10} + \frac{y}{15} = \frac{4}{15}
\]
Nhân với 30 để làm gọn:
\[
3x + 2y = 8 \quad (1)
\]

- Phương trình 2:
\[
\frac{y}{10} + \frac{x}{15} = \frac{7}{30}
\]
Nhân với 30 để làm gọn:
\[
3y + 2x = 7 \quad (2)
\]

4. **Giải hệ phương trình (1) và (2):**
- Từ phương trình (1):
\[
3x + 2y = 8 \quad (1)
\]

- Từ phương trình (2):
\[
2x + 3y = 7 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng:

Chúng ta có thể nhân phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với 2:
\[
9x + 6y = 24 \quad (3)
\]
\[
4x + 6y = 14 \quad (4)
\]

Trừ phương trình (4) khỏi (3):
\[
9x + 6y - (4x + 6y) = 24 - 14
\]
\[
5x = 10
\]
\[
x = 2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{8 - 3(2)}{2} = 1
\]

5. **Tính quãng đường AB:**
Vì quãng đường AB là tổng đoạn đường lên dốc và đoạn đường xuống dốc, ta có:
\[
AB = x + y = 2 + 1 = 3 \text{ km}
\]

Do đó, quãng đường AB là \( 3 \) km.