Cho x+y=2. Tìm giá trị lớn nhất của P = x^2y^2(x^2+y^2)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x^2 y^2 (x^2 + y^2) \) dưới ràng buộc \( x + y = 2 \), chúng ta có thể thay \( y \) bằng \( 2 - x \).

Vậy ta có:

\[
P = x^2 (2 - x)^2 (x^2 + (2 - x)^2)
\]

Tính \( x^2 + (2 - x)^2 \):

\[
(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2 \implies x^2 + (2 - x)^2 = x^2 + (4 - 4x + x^2) = 2x^2 - 4x + 4
\]

Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = x^2 (2 - x)^2 (2x^2 - 4x + 4)
\]

Trong đó:

\[
(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2
\]

Bây giờ bạn có thể viết lại biểu thức \( P \):

\[
P = x^2 (4 - 4x + x^2)(2x^2 - 4x + 4)
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \) theo \( x \), ta tính \( P \) tại các điểm đỉnh.

Để đơn giản hóa việc tính toán, ta có thể dùng phương pháp Lagrange để tìm cực trị của hàm số dưới ràng buộc, hoặc sử dụng một số phương pháp số học hoặc tính toán cụ thể hơn.

Thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) thì có giá trị \( P = (1)(1)(1^2 + 1^2) = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 \).

Tiếp theo hãy kiểm tra các giá trị biên khác:

- Nếu \( x = 0 \), \( y = 2 \) thì \( P = 0^2 \cdot 2^2 \cdot (0^2 + 2^2) = 0 \).
- Nếu \( x = 2 \), \( y = 0 \) thì \( P = 2^2 \cdot 0^2 \cdot (2^2 + 0^2) = 0 \).

Qua việc phân tích các giá trị trên, ta có thể thấy rằng giá trị lớn nhất của \( P = 2 \) khi \( x = 1 \) và \( y = 1 \).

Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là:

\[
\boxed{2}
\]