Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện:

1. Chia cho 9 dư 5
2. Chia cho 7 dư 4
3. Chia cho 5 dư 1

Ta có thể chuyển các điều kiện trên thành các phương trình đồng dư như sau:

- \( x \equiv 5 \mod 9 \)
- \( x \equiv 4 \mod 7 \)
- \( x \equiv 1 \mod 5 \)

Chúng ta sẽ giải dần từng phương trình.

### Bước 1: Giải từ hai điều kiện đầu tiên

Giả sử \( x = 9k + 5 \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)). Thay vào điều kiện thứ hai:

\[
9k + 5 \equiv 4 \mod 7
\]

Giải phương trình này:

\[
9k + 5 \equiv 4 \mod 7 \implies 2k + 5 \equiv 4 \mod 7 \implies 2k \equiv -1 \equiv 6 \mod 7
\]

Tìm \( k \):

\[
k \equiv 3 \mod 7
\]
Có thể viết \( k \) dưới dạng:

\[
k = 7m + 3 \quad (m \in \mathbb{Z})
\]

Thay vào biểu thức cho \( x \):

\[
x = 9(7m + 3) + 5 = 63m + 27 + 5 = 63m + 32
\]

### Bước 2: Giải với điều kiện thứ ba

Thay vào điều kiện thứ ba:

\[
63m + 32 \equiv 1 \mod 5
\]

Tính modulo 5:

\[
3m + 2 \equiv 1 \mod 5 \implies 3m \equiv -1 \equiv 4 \mod 5
\]

Giải phương trình:

\[
m \equiv 3 \mod 5
\]

Có thể viết:

\[
m = 5n + 3 \quad (n \in \mathbb{Z})
\]

### Bước 3: Thay lại để tìm x

Đưa \( m \) trở lại vào biểu thức cho \( x \):

\[
x = 63(5n + 3) + 32 = 315n + 189 + 32 = 315n + 221
\]

### Bước 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất

Lấy \( n = 0 \):

\[
x = 221
\]

### Kiểm tra lại

- \( 221 \div 9 = 24 \) dư 5
- \( 221 \div 7 = 31 \) dư 4
- \( 221 \div 5 = 44 \) dư 1

Tất cả đều thỏa điều kiện.

Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là **221**.