Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4, chia cho 5 dư 1

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Chia cho 9 dư 5: \( x \equiv 5 \ (\text{mod} \ 9) \)
2. Chia cho 7 dư 4: \( x \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) \)
3. Chia cho 5 dư 1: \( x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5) \)

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đồng dư.

**Bước 1: Giải hai phương trình đầu tiên**

Ta bắt đầu từ hai hệ sau:

- \( x = 9k + 5 \)
- Thay vào phương trình thứ hai:

\[
9k + 5 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) \implies 9k \equiv -1 \ (\text{mod} \ 7) \implies 2k \equiv 6 \ (\text{mod} \ 7)
\]

Giải phương trình trên, ta tìm được:

\[
2k \equiv 6 \implies k \equiv 3 \ (\text{mod} \ 7) \implies k = 7m + 3
\]

Thay \( k \) vào biểu thức cho \( x \):

\[
x = 9(7m + 3) + 5 = 63m + 32
\]

**Bước 2: Thay vào phương trình thứ ba**

Bây giờ ta có:

\[
x \equiv 32 \ (\text{mod} \ 63)
\]

Thay vào phương trình thứ ba:

\[
32 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5) \implies 32 \mod 5 = 2
\]

Do đó:

\[
63m + 32 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5) \implies 3m + 2 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5) \implies 3m \equiv -1 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 5)
\]

Giải:

\[
3m \equiv 4 \ (\text{mod} \ 5)
\]

Tìm \( m \):

- Nếu \( m = 0 \) thì \( 3 \times 0 \equiv 0 \)
- Nếu \( m = 1 \) thì \( 3 \times 1 \equiv 3 \)
- Nếu \( m = 2 \) thì \( 3 \times 2 \equiv 1 \)
- Nếu \( m = 3 \) thì \( 3 \times 3 \equiv 4 \) (đúng)

Vậy \( m \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5) \implies m = 5n + 3 \)

**Bước 3: Thay lại để tìm \( x \)**

Thay \( m \) vào biểu thức cho \( x \):

\[
x = 63(5n + 3) + 32 = 315n + 189 + 32 = 315n + 221
\]

Số tự nhiên nhỏ nhất khi \( n = 0 \):

\[
x = 221
\]

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên là **221**.