Để tìm ba số nguyên dương \( a, b, c \) với các điều kiện đã cho, ta thực hiện như sau:

### Bước 1: Thiết lập tỉ số
Từ các tỉ số:
- \( \frac{a}{b} = \frac{5}{9} \) tức là \( a = \frac{5}{9}b \).
- \( \frac{a}{c} = \frac{10}{7} \) tức là \( a = \frac{10}{7}c \).

### Bước 2: Biểu diễn b bằng c
Từ phương trình \( a = \frac{10}{7}c \), ta có:
\[
c = \frac{7}{10}a
\]

Thay \( a = \frac{5}{9}b \) vào phương trình trên:
\[
c = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{9}b = \frac{35}{90}b = \frac{7}{18}b
\]

### Bước 3: Thiết lập mối liên hệ giữa a, b, c
Từ các biểu thức:
- \( a = \frac{5}{9}b \)
- \( c = \frac{7}{18}b \)

### Bước 4: Xác định Bội chung nhỏ nhất
Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của \( a, b, c \) là 3150. Ta sẽ thay \( a \) và \( c \) vào biểu thức BCNN:
\[
\text{BCNN}(a, b, c) = \text{BCNN}\left(\frac{5}{9}b, b, \frac{7}{18}b\right)
\]
BCNN có thể được tính như sau:
\[
\text{BCNN}(k_1, k_2, k_3) = k \cdot \text{BCNN}(m_1, m_2, m_3) \text{, với } k \text{ là hệ số chung}
\]

### Bước 5: Tính giá trị cụ thể
Giả sử \( b = 90k \), ta có:
\[
a = \frac{5}{9}b = 50k, \quad c = \frac{7}{18}b = 35k
\]

Tính BCNN:
\[
\text{BCNN}(50k, 90k, 35k) = \text{BCNN}(50, 90, 35) \cdot k
\]

Tính BCNN các số:
- \( 50 = 2 \cdot 5^2 \)
- \( 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
- \( 35 = 5 \cdot 7 \)

BCNN:
\[
\text{BCNN}(50, 90, 35) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 6300
\]
nên
\[
k \cdot 6300 = 3150 \implies k = \frac{3150}{6300} = \frac{1}{2}
\]

### Bước 6: Tìm a, b, c
Thay vào biểu thức, ta có:
\[
b = 90 \cdot \frac{1}{2} = 45, \quad a = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25, \quad c = 35 \cdot \frac{1}{2} = 17.5
\]

Vì vậy ta sẽ điều chỉnh k về số nguyên. Thay k = 2 để có số nguyên:
\[
a = 50 \cdot 2 = 100, \quad b = 90 \cdot 2 = 180, \quad c = 35 \cdot 2 = 70.
\]

### Kết quả
Ba số nguyên dương cần tìm là:
\[
a = 100, \quad b = 180, \quad c = 70.
\]

Kiểm tra lại điều kiện:
- Tỉ số \( \frac{100}{180} = \frac{5}{9} \) và \( \frac{100}{70} = \frac{10}{7} \).
- Bội chung nhỏ nhất \( \text{BCNN}(100, 180, 70) = 3150 \).

Vậy ba số là \( 100, 180, 70 \).