Để phân tích các đa thức thành nhân tử, ta sẽ thực hiện từng bài một.

### a) \( (x+y)^2 - \frac{1}{4}y^2 \)

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức này có dạng \( A^2 - B^2 \), với:
- \( A = (x+y) \)
- \( B = \frac{1}{2}y \)

Theo định lý phân tích đa thức thành nhân tử cho hiệu hai bình phương, ta có:
\[
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)
\]
Áp dụng vào bài toán này:
\[
(x+y)^2 - \left(\frac{1}{2}y\right)^2 = [(x+y) - \frac{1}{2}y][(x+y) + \frac{1}{2}y]
\]

Giải chi tiết hơn:
\[
= \left(x + \frac{1}{2}y\right) \left(x + \frac{3}{2}y\right)
\]

### b) \( x^2 + 2xy + y^2 - 4 \)

Biểu thức này có thể được viết lại thành:
\[
x^2 + 2xy + y^2 - 4 = (x + y)^2 - 4
\]

Cũng có dạng \( A^2 - B^2 \), với:
- \( A = (x+y) \)
- \( B = 2 \)

Áp dụng định lý phân tích thành nhân tử:
\[
(x+y)^2 - 2^2 = [(x+y) - 2][(x+y) + 2]
\]

Vậy, kết quả là:
\[
= (x + y - 2)(x + y + 2)
\]

### c) \( 10x + x^2 - y^2 + 25 \)

Ta sắp xếp lại biểu thức:
\[
x^2 + 10x + 25 - y^2
\]
Nhận thấy rằng \( x^2 + 10x + 25 \) có thể được viết thành:
\[
(x + 5)^2 - y^2
\]

Cũng có dạng \( A^2 - B^2 \), với:
- \( A = (x + 5) \)
- \( B = y \)

Áp dụng định lý phân tích thành nhân tử:
\[
(x + 5)^2 - y^2 = [(x + 5) - y][(x + 5) + y]
\]

Vậy, kết quả là:
\[
= (x + 5 - y)(x + 5 + y)
\]

### Tóm tắt kết quả:
a) \((x + \frac{1}{2}y)(x + \frac{3}{2}y)\)

b) \((x + y - 2)(x + y + 2)\)

c) \((x + 5 - y)(x + 5 + y)\)