Chúng ta sẽ thực hiện các phép tính trong bài tập này như sau:

### a. Tính giá trị của biểu thức:
\[
\sqrt{8} + \sqrt{8} + \sqrt{20} + \sqrt{40}
\]

**Bước 1:** Tính từng căn.

- \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\), vậy \(\sqrt{8} + \sqrt{8} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}\).
- \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\).
- \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\).

**Bước 2:** Cộng lại.

\[
4\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10}
\]

### b. Tính giá trị của biểu thức:
\[
\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{2006} + \sqrt{2007}}
\]

**Bước 1:** Rút gọn một phần tử tổng quát.

Ta có thể rút gọn mẫu số như sau:
\[
\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{1}
\]

**Bước 2:** Áp dụng điều này cho từng phần tử trong tổng.
Vì vậy, tổng có thể được viết lại là:
\[
(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \ldots + (\sqrt{2007} - \sqrt{2006})
\]

**Bước 3:** Nhận thấy đây là một chuỗi telescoping. Như vậy, khi thực hiện phép cộng, tất cả các phần sẽ bị khử, chỉ còn lại:
\[
\sqrt{2007} - 1
\]

### Kết quả:
- Phần a: \( 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \)
- Phần b: \( \sqrt{2007} - 1 \)