Tìm giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A có giá trị nguyên Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} \) có giá trị nguyên, ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Kiểm tra điều kiện xác định**: - \( \sqrt{x} \) xác định khi \( x \geq 0 \). - Mần mệnh đề \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \) dẫn đến \( x \neq 9 \) vì khi \( x = 9 \), mẫu sẽ bằng 0. 2. **Đặt \( \sqrt{x} = t \)**: - Khi đó, \( t \geq 0 \) và \( A = \frac{t + 5}{t - 3} \). 3. **Giải để \( A \) là số nguyên**: - Đặt \( A = k \) (với \( k \) là một số nguyên). - Khi đó, ta có phương trình: \[ k(t - 3) = t + 5. \] - Sắp xếp lại sẽ cho ta phương trình: \[ kt - 3k = t + 5. \] - Nhóm các hạng tử liên quan đến \( t \): \[ kt - t = 3k + 5 \implies (k - 1)t = 3k + 5. \] - Ta thu được: \[ t = \frac{3k + 5}{k - 1}, \quad k \neq 1. \] 4. **Kiểm tra tính nguyên của \( t \)**: - Để \( t \) là số thực không âm, ta phải có \( 3k + 5 \geq 0 \) và \( k - 1 \neq 0 \). - Từ bất phương trình \( 3k + 5 \geq 0 \) suy ra \( k \geq -\frac{5}{3} \) (do \( k \) là số nguyên, \( k \geq -1 \)). - Thay vào điều kiện về \( k - 1 \neq 0 \) ta có \( k \neq 1 \). 5. **Các giá trị nguyên của \( k \)**: - Xem xét các giá trị \( k \) từ \(-1, 0, 2, 3, \dots\). 6. **Tính giá trị của \( t \) đối với từng \( k \)**: - Với \( k = -1 \): \[ t = \frac{3(-1) + 5}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1 \quad \text{(không hợp lệ)} \] - Với \( k = 0 \): \[ t = \frac{3(0) + 5}{0 - 1} = \frac{5}{-1} = -5 \quad \text{(không hợp lệ)} \] - Với \( k = 2 \): \[ t = \frac{3(2) + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11 \quad \Rightarrow x = t^2 = 121 \] - Với \( k = 3 \): \[ t = \frac{3(3) + 5}{3 - 1} = \frac{14}{2} = 7 \quad \Rightarrow x = t^2 = 49 \] - Với \( k = 4 \): \[ t = \frac{3(4) + 5}{4 - 1} = \frac{17}{3} \quad \text{(không nguyên)} \] - Tương tự kiểm tra với các \( k \) lớn hơn. Cuối cùng, ta có các giá trị nguyên của \( x \) là \( 121 \) và \( 49 \), đáp ứng yêu cầu bài toán.