Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} \) có giá trị nguyên, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Kiểm tra điều kiện xác định**:
- \( \sqrt{x} \) xác định khi \( x \geq 0 \).
- Mần mệnh đề \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \) dẫn đến \( x \neq 9 \) vì khi \( x = 9 \), mẫu sẽ bằng 0.

2. **Đặt \( \sqrt{x} = t \)**:
- Khi đó, \( t \geq 0 \) và \( A = \frac{t + 5}{t - 3} \).

3. **Giải để \( A \) là số nguyên**:
- Đặt \( A = k \) (với \( k \) là một số nguyên).
- Khi đó, ta có phương trình:
\[
k(t - 3) = t + 5.
\]
- Sắp xếp lại sẽ cho ta phương trình:
\[
kt - 3k = t + 5.
\]
- Nhóm các hạng tử liên quan đến \( t \):
\[
kt - t = 3k + 5 \implies (k - 1)t = 3k + 5.
\]
- Ta thu được:
\[
t = \frac{3k + 5}{k - 1}, \quad k \neq 1.
\]

4. **Kiểm tra tính nguyên của \( t \)**:
- Để \( t \) là số thực không âm, ta phải có \( 3k + 5 \geq 0 \) và \( k - 1 \neq 0 \).
- Từ bất phương trình \( 3k + 5 \geq 0 \) suy ra \( k \geq -\frac{5}{3} \) (do \( k \) là số nguyên, \( k \geq -1 \)).
- Thay vào điều kiện về \( k - 1 \neq 0 \) ta có \( k \neq 1 \).

5. **Các giá trị nguyên của \( k \)**:
- Xem xét các giá trị \( k \) từ \(-1, 0, 2, 3, \dots\).

6. **Tính giá trị của \( t \) đối với từng \( k \)**:
- Với \( k = -1 \):
\[ t = \frac{3(-1) + 5}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1 \quad \text{(không hợp lệ)} \]

- Với \( k = 0 \):
\[ t = \frac{3(0) + 5}{0 - 1} = \frac{5}{-1} = -5 \quad \text{(không hợp lệ)} \]

- Với \( k = 2 \):
\[ t = \frac{3(2) + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11 \quad \Rightarrow x = t^2 = 121 \]

- Với \( k = 3 \):
\[ t = \frac{3(3) + 5}{3 - 1} = \frac{14}{2} = 7 \quad \Rightarrow x = t^2 = 49 \]

- Với \( k = 4 \):
\[ t = \frac{3(4) + 5}{4 - 1} = \frac{17}{3} \quad \text{(không nguyên)} \]

- Tương tự kiểm tra với các \( k \) lớn hơn.

Cuối cùng, ta có các giá trị nguyên của \( x \) là \( 121 \) và \( 49 \), đáp ứng yêu cầu bài toán.