Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{x - 1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2x + 1}{x^2 + x}
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính toán bên trái**:
\[
\frac{x - 1}{x} + \frac{1}{x + 1}
\]
Tìm mẫu chung là \(x(x + 1)\):
\[
= \frac{(x - 1)(x + 1) + x}{x(x + 1)} = \frac{x^2 - 1 + x}{x(x + 1)} = \frac{x^2 + x - 1}{x(x + 1)}
\]

2. **Xem xét bên phải**:
Biểu thức bên phải là
\[
\frac{2x + 1}{x^2 + x}
\]

Có thể viết lại thành
\[
\frac{2x + 1}{x(x + 1)}
\]

3. **So sánh hai phía**:
Ta có
\[
\frac{x^2 + x - 1}{x(x + 1)} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}
\]
⇒ **Đặt mẫu số chung giống nhau, ta cần so sánh phần tử số**:
\[
x^2 + x - 1 = 2x + 1
\]

4. **Giải phương trình**:
\[
x^2 + x - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Vậy biểu thức đã được rút gọn là:

\[
\frac{x^2 + x - 1}{x(x + 1)} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}
\]

và nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\).