Để chứng minh rằng

\[
A = \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^3} < \frac{1}{2^2}
\]

chúng ta có thể tính các phần tử trong bình phương. Chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của dãy số phân kỳ để đạt được điều này.

### Bước 1: Tính giá trị

Trước tiên, quan sát rằng các số hạng \(\frac{1}{n^3}\) giảm dần khi \(n\) tăng. Do đó, ta có thể đưa ra một một số giả định.

### Bước 2: So sánh với một chuỗi liên tục

Ta biết rằng

\[
\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^3} \, dx < \frac{1}{n^3} < \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x^3} \, dx.
\]

Bằng cách tổng hợp từ \(n=2\) đến \(100\), ta có thể viết:

\[
\int_{2}^{101} \frac{1}{x^3} \, dx < A < \int_{1}^{100} \frac{1}{x^3} \, dx.
\]

### Bước 3: Tính toán các tích phân

Tính giá trị của tích phân:

\[
\int \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2x^2} + C.
\]

Do đó:

\[
\int_{2}^{101} \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2(101^2)} + \frac{1}{2(2^2)} = -\frac{1}{2 \times 10201} + \frac{1}{8}.
\]

Tính giá trị này:

\[
-\frac{1}{20402} + \frac{1}{8} \approx 0.125 - 0.000049 \approx 0.124951 \quad (nhỏ hơn \frac{1}{8} = 0.125).
\]

Và

\[
\int_{1}^{100} \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{200} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{200} = \frac{100}{200} - \frac{1}{200} = \frac{99}{200} = 0.495.
\]

### Bước 4: Kết luận

Với các tính toán ở trên, ta thấy rằng giá trị của \(A\) là khoảng giữa các giá trị nhỏ hơn \(0.496 < \frac{1}{4} = 0.25\), nên

\[
A < \frac{1}{4}.
\]

Vậy kết luận cuối cùng là:

\[
A < \frac{1}{2^2}.
\]

Chứng minh được hoàn thành.