Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a+1 và b+9 đều chia hết cho 6

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a)

1. **Điều kiện:** \( a + 1 \equiv 0 \mod 6 \) và \( b + 9 \equiv 0 \mod 6 \).

- Từ điều kiện \( a + 1 \equiv 0 \mod 6 \), ta có \( a \equiv 5 \mod 6 \). Điều này có nghĩa là các giá trị khả thi của \( a \) là \( 5, 11, 17, \ldots \).
- Từ điều kiện \( b + 9 \equiv 0 \mod 6 \), ta có \( b \equiv -9 \equiv 3 \mod 6 \). Điều này có nghĩa là các giá trị khả thi của \( b \) là \( 3, 9, 15, \ldots \).

2. **Chứng minh:** Ta cần kiểm tra \( 4^4 + a + b \equiv 0 \mod 6 \).

- Tính \( 4^4 \mod 6 \):
\[
4 \equiv 4 \mod 6 \\
4^2 \equiv 4 \times 4 = 16 \equiv 4 \mod 6 \\
4^4 \equiv 4 \mod 6.
\]

- Vậy:
\[
4^4 + a + b \equiv 4 + a + b \equiv 0 \mod 6.
\]

- Thay thế \( a \equiv 5 \mod 6 \) và \( b \equiv 3 \mod 6 \):
\[
4 + 5 + 3 \equiv 12 \equiv 0 \mod 6.
\]

Vậy điều kiện này đúng.

### b)

1. **Tìm các số nguyên \( n \) sao cho \( n^2 + n + 3 \) là số chính phương:**

- Gọi \( n^2 + n + 3 = k^2 \) với \( k \) là số nguyên.
- Sắp xếp lại:
\[
n^2 + n + (3 - k^2) = 0.
\]

- Tính delta của phương trình:
\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - k^2) = 1 - 12 + 4k^2 = 4k^2 - 11.
\]
- Để phương trình có nghiệm, \( \Delta \) phải là số chính phương, tức là:
\[
4k^2 - 11 = m^2 \text{ với } m \text{ là số nguyên.}
\]

2. **Giải phương trình:**
- Sắp xếp lại thành:
\[
4k^2 - m^2 = 11 \implies (2k - m)(2k + m) = 11.
\]
- Xét các cặp ước số của 11: \( (1, 11), (-1, -11), (11, 1), (-11, -1) \).

Giải từng cặp:

- \( 2k - m = 1 \) và \( 2k + m = 11 \) => \( 4k = 12 \) => \( k = 3 \) => \( m = 5 \).
- \( 2k - m = -1 \) và \( 2k + m = -11 \) => \( 4k = -12 \) => \( k = -3 \) => \( m = -5 \).

- Các giá trị của \( k = 3 \) (hoặc \( -3 \)) đều cho:
- Tính \( \Delta = 4(3^2) - 11 = 36 - 11 = 25 \) (là số chính phương).

- Giải phương trình bậc hai:
\[
n^2 + n + (3 - 9) = 0 \implies n^2 + n - 6 = 0.
\]

- Nghiệm:
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies n = 2 \text{ hoặc } n = -3.
\]

- Vậy \( n \) chỉ có thể là \( 2 \) (vì \( n \) là số nguyên dương).

### Kết luận:

- Các số nguyên dương \( a, b \) là thỏa mãn.
- \( n = 2 \) là nghiệm duy nhất cho phần b.