Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( 2p + 1 \) và \( 2p - 1 \) cũng là số nguyên tố, chúng ta sẽ thử từng số nguyên tố nhỏ và kiểm tra điều kiện.

1. **Thử với \( p = 2 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
2p - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
Vậy \( p = 2 \) thỏa mãn.

2. **Thử với \( p = 3 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
2p - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
Vậy \( p = 3 \) cũng thỏa mãn.

3. **Thử với \( p = 5 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
2p - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 9 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

4. **Thử với \( p = 7 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

5. **Thử với \( p = 11 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
2p - 1 = 2 \cdot 11 - 1 = 21 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

6. **Thử với \( p = 13 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 13 + 1 = 27 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

7. **Thử với \( p = 17 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 17 + 1 = 35 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

8. **Thử với \( p = 19 \):**
\[
2p + 1 = 2 \cdot 19 + 1 = 39 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Từ các tính toán trên, chúng ta thấy rằng \( p = 2 \) và \( p = 3 \) là các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện \( 2p + 1 \) và \( 2p - 1 \) cũng là các số nguyên tố.

Vậy, số nguyên tố \( p \) thỏa mãn yêu cầu là:
\[
\boxed{2 \text{ và } 3}
\]