Gọi số hạng thứ nhất là \( x \) và số hạng thứ hai là \( y \). Theo đề bài, ta có các phương trình sau:

1. Tổng hai số:
\[
x + y = 10.47
\]

2. Nếu số hạng thứ nhất gấp lên 5 lần và số hạng thứ hai gấp lên 3 lần, tổng sẽ là:
\[
5x + 3y = 44.59
\]

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 10.47 \quad (1) \\
5x + 3y = 44.59 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 10.47 - x
\]

Sau đó, thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
5x + 3(10.47 - x) = 44.59
\]
\[
5x + 31.41 - 3x = 44.59
\]
\[
2x + 31.41 = 44.59
\]
\[
2x = 44.59 - 31.41
\]
\[
2x = 13.18
\]
\[
x = \frac{13.18}{2} = 6.59
\]

Bây giờ, thay giá trị của \( x \) vào phương trình (1) để tìm \( y \):
\[
y = 10.47 - 6.59 = 3.88
\]

Vậy, số hạng thứ nhất là \( 6.59 \) và số hạng thứ hai là \( 3.88 \).

**Kết quả:**
- Số hạng thứ nhất: \( 6.59 \)
- Số hạng thứ hai: \( 3.88 \)