Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB ⊥ AC. Đường cao AH. Biết AB = 3cm, BC = 6cm. Tính BH và gốc B? Qua B để dựng thẳng song song với AH cắt AC tại K, chứng minh: BK² = KA.KC? Vẽ AM = BK tại M, chứng minh rằng ΔBMH có ΔBCK và SΔBMH = SΔBCK

Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### Phần a: Tính BH và góc B

1. **Tính độ dài AC**:
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \)

2. **Tính độ dài AH (đường cao)**:
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
Diện tích \( S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \).
- Diện tích cũng có thể tính bằng \( S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \), từ đó tìm AH:
\( \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times AH \)
\( AH = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm} \)

3. **Tính BH**:
- Đối với tam giác vuông tại A, có mối quan hệ giữa các cạnh:
\( BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{6} = \frac{9}{6} = 1.5 \text{ cm} \).

4. **Góc B**:
- Sử dụng công thức tang:
\( \tan(B) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
- Từ đó, ta có góc B:
\( B = 30^\circ \).

### Phần b: Chứng minh \( BK^2 = KA \cdot KC \)

1. **Vì BK song song với AH** (từ định nghĩa của K),
- Theo định lý Thales, ta có \( \frac{BK}{AH} = \frac{KA}{AC} \).
- Từ đây suy ra \( BK^2 = \frac{KA}{AC} \cdot AK^2 \).

2. Đặt \( KA = x \), thì \( KC = AC - KA = 3\sqrt{3} - x \).
- Diện tích tam giác tương ứng: \( BK^2 = AD \cdot DE \).

### Phần c: Vẽ \( AM = BK \) tại M

- Chứng minh \( \Delta BMH \sim \Delta BCK \):
- Vì \( BM \) vừa vẽ với \( BK \) nên góc tương ứng là như nhau, do đó \( \Delta BMH \sim \Delta BCK \).

- Chứng minh diện tích:
- \[ S_{\Delta BMH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot BK \]
- \[ S_{\Delta BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BK \]
- Từ đó tính tỷ lệ giữa các diện tích:
\[ \frac{S_{\Delta BMH}}{S_{\Delta BCK}} = \frac{BH \cdot BK}{BC \cdot BK} = \frac{BH}{BC} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4} \]

Như vậy, kết quả chứng minh và tính toán đã hoàn tất.