Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \) với điều kiện \( x + y + z = 2 \) và \( x, y, z > 0 \), ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc một số phương pháp khác.

### Bước 1: Dùng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \right) \left( (y+z) + (z+x) + (x+y) \right) \geq (x+y+z)^2
\]

### Bước 2: Tính Tổng trong Bất Đẳng Thức

Ta biết rằng:

\[
(y+z) + (z+x) + (x+y) = 2(x+y+z) = 4
\]

### Bước 3: Thay vào Bất Đẳng Thức

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
P \cdot 4 \geq (x+y+z)^2 = 2^2 = 4
\]

Suy ra:

\[
P \geq 1
\]

### Bước 4: Kiểm Tra Giá Trị Đạt Được

Để kiểm tra xem giá trị \( P = 1 \) có đạt được không, chúng ta cần có:

\[
\frac{x^2}{y+z} = \frac{y^2}{z+x} = \frac{z^2}{x+y} = k \quad (k \text{ là một hằng số})
\]

### Bước 5: Giải Hệ Phương Trình

Giả sử \( x = y = z \), khi đó từ \( x + y + z = 2 \) suy ra \( 3x = 2 \) hay \( x = \frac{2}{3} \).

### Bước 6: Tính Giá Trị của \( P \)

Thay \( x, y, z \) vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}} + \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}} + \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1
\]

### Kết Luận

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( 1 \), đạt được khi \( x = y = z = \frac{2}{3} \).