Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Tính độ dài \(HD\)

1. **Sử dụng tính chất hình thang:** Trong hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\) và \(AC = BD\), ta có thể chia hình thang thành hai tam giác \(\triangle AHC\) và \( \triangle BHD\).

2. **Sử dụng định lý Pythagore:** Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHD\) ta có:

\[
AD^2 = AH^2 + HD^2
\]

Thay vào đó, ta có:

\[
5^2 = 4^2 + HD^2
\]

\[
25 = 16 + HD^2
\]

\[
HD^2 = 25 - 16 = 9
\]

\[
HD = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \(ABCD\) là hình thang cân

1. **Lập luận:** Vì \(AC = BD\) và \(AD = 5 \text{ cm}\), \(AH\) là đường cao và \(HD = 3 \text{ cm}\) của трiangle \(AHD\). Tương tự, có thể chứng minh rằng \(BC\) cũng có chiều cao bằng \(3 \text{ cm}\).

2. **Tam giác vuông:** Trong các tam giác vuông \(AHB\) và \(AHD\), có:

- \(AH = AH\) (đường cao chung)
- \(HD = 3 \text{ cm}\)
- \(AD = 5 \text{ cm}\)

Ta có:
\[
AB = AD \text{ (đối xứng)}
\]

3. **Kết luận:** Vì \(AB = CD\) và \(AC = BD\), theo định nghĩa của hình thang cân, ta có:
\[
AB = CD \text{ và } AD = BC
\]

Do đó, hình thang \(ABCD\) là hình thang cân.

### Kết quả:
- \(HD = 3 \text{ cm}\)
- Hình thang \(ABCD\) là hình thang cân.