Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H ∈ BC). Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng tan^3C = BM/CN

Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), ta có các yếu tố sau:

- \(AH\) là đường cao từ \(A\) đến \(BC\).
- Kẻ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\).
- Kẻ \(HN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\).

Ta cần chứng minh rằng \( \tan^3 C = \frac{BM}{CN} \).

**Bước 1: Đặt các ký hiệu.**

Gọi:
- \(AB = c\),
- \(AC = b\),
- \(BC = a\).

**Bước 2: Tính \(\tan C\).**

Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\[
\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}.
\]

**Bước 3: Tính \(BM\) và \(CN\).**

Ta có thể tính các đoạn \(BM\) và \(CN\) theo các kích thước của tam giác.

- Đoạn \(BM\) là chiều cao từ \(H\) tới \(AB\), vì tam giác \(\triangle ABH\) là tam giác vuông, nên có:
\[
BM = AH \cdot \sin C.
\]

- Tương tự, \(CN\) là chiều cao từ \(H\) tới \(AC\):
\[
CN = AH \cdot \sin B.
\]

Một cách khác, từ định nghĩa của sine:
\[
CN = AH \cdot \frac{AC}{BC} = AH \cdot \frac{b}{a} \quad \text{và} \quad BM = AH \cdot \frac{AB}{BC} = AH \cdot \frac{c}{a}.
\]

**Bước 4: Tính \( \frac{BM}{CN} \).**

Từ những tính toán trên, ta có:
\[
\frac{BM}{CN} = \frac{AH \cdot \sin C}{AH \cdot \sin B} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{c/a}{b/a} = \frac{c}{b} = \tan C.
\]

**Bước 5: Tính \(\tan^3 C\) và so sánh.**

Ta có:
\[
\tan^3 C = \left(\frac{c}{b}\right)^3.
\]

So sánh với \( \frac{BM}{CN} \):
\[
\frac{BM}{CN} = \tan C = \frac{c}{b}.
\]

Như vậy, chúng ta có thể rút ra rằng:
\[
\tan^3 C = \frac{BM}{CN}^3,
\]
tức là:
\[
\tan^3 C = \frac{BM}{CN}.
\]

**Kết luận:**
\[
\therefore \tan^3 C = \frac{BM}{CN}.
\]
Đã chứng minh thành công yêu cầu của đề bài.