Cho điểm M trên đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ có chứa đoạn AB kẻ Mx sao cho AMx = 60 độ và tia My sao cho BMy = 60 độ. Trên tia Mx lấy điểm D sao cho MD=MB.Chứng minh AD=CB. Lấy E là trung điểm của AD; F là trung điểm của CB

Chứng minh AD = CB:

1. **Tạo hình**: Xem hình có điểm A, B, M, X, Y, D.
- Gọi C là điểm đối xứng của M qua D, thì có:
- \( MD = MB \implies MD = MC \) (do M là trung điểm của đoạn MC).

2. **Xét tam giác**: Trong tam giác AMB, chúng ta có:
- \( AM = MB \) và góc AMB = 60 độ.
- Từ đó, ta có 2 tam giác AMB và BMD có các cạnh tương ứng bằng nhau:
- \( AM = MB = MD \)
- Góc AMB = 60 độ = Góc BMD (góc giữa 2 cạnh bằng nhau).

3. **Suy ra**: Từ các tam giác này, ta có:
- Tam giác AMB = Tam giác BMD (theo quy tắc tam giác đều).
- Do đó, các cạnh tương ứng bằng nhau:
- \( AD = CB \).

Chứng minh EMF = 60 độ:

1. **Trung điểm**: Gọi E là trung điểm của AD và F là trung điểm của CB.
2. **Tam giác 2 phương trình**:
- Xét tam giác AEM và CBF.
- Ta đã chứng minh AD = CB, nên AE = BF.
3. **Góc EMF**:
- Từ góc AMx = 60 độ và góc BMy = 60 độ, ta có góc AMF = 30 độ (bằng 1/2 góc AMB).
- Góc BMF = 30 độ (bằng 1/2 góc BMy).

4. **Kết luận**:
- Từ đó, trong tam giác EMF:
- Góc EMF = góc AMF + góc BMF = 30 độ + 30 độ = 60 độ.

Vậy, ta đã chứng minh EMF = 60 độ.