Cho △ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (thuộc BC). Giải tam giác ABC khi AB = 5cm, BC = 13cm (góc làm tròn đến độ)

1) Để giải tam giác ABC vuông tại A với \( AB = 5 \, \text{cm} \) và \( BC = 13 \, \text{cm} \), ta sử dụng định lý Pythagoras:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Trong tam giác vuông, ta có:

- \( AB = 5 \, \text{cm} \)
- \( BC = 13 \, \text{cm} \)

Đầu tiên, chúng ta cần tìm chiều dài của AC (đường huyền):

\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}
\]

Bây giờ chúng ta đã có độ dài các cạnh:
- \( AB = 5 \, \text{cm} \)
- \( AC = 12 \, \text{cm} \)
- \( BC = 13 \, \text{cm} \)

Để tìm các góc của tam giác ABC, ta sử dụng các định nghĩa về sin, cos, tan cho các góc.

Tính góc A:

\[
\sin A = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}
\]

Do đó:

\[
A = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.6^\circ \text{ (làm tròn đến độ là 23°)}
\]

Tính góc B:

\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}
\]

Do đó:

\[
B = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) \approx 67.4^\circ \text{ (làm tròn đến độ là 67°)}
\]

Cuối cùng, góc C là 90° (vì đây là tam giác vuông).

---

2) Để chứng minh \(\triangle AHB \sim \triangle AHC\), chúng ta có:

- Cả 2 tam giác đều có góc A chung.
- Góc AHB = góc AHC (cùng là góc vuông).

Do đó, theo tiêu chuẩn góc-góc, ta có:

\[
\triangle AHB \sim \triangle AHC
\]

---

3) Gọi O là trung điểm của AC, K là hình chiếu của O trên BC.

Ta có:

- \( AO \perp BC \) (vì O là trung điểm của AC)
- \( BO \perp AC \) (vì AC là cạnh huyền, phù hợp với định nghĩa của O)

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{AM}
\]

Vì tam giác AHB và AHC tương đương nhau, ta có chiều cao AH (chân đường cao).

Để chứng minh rằng \( \triangle BHO \sim \triangle AHM \):

Bọn này cũng có góc chung và góc vuông, vậy:

\[
\frac{BH}{AH} = \frac{BO}{AM}
\]

Và do đó:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{AM}
\]

Vì các độ dài trong tam giác vuông được tỷ lệ chính xác như vậy.

---

**BÀI TẬP NÂNG CAO:**

**Bài 1:**
Giải phương trình \( x^2 + xy - 2y - x - 5 = 0 \).

**Bài 2:**
Chứng minh bất đẳng thức Elka:
\[
x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2} \geq 2xy.
\]

**Bài 3:**
Dùng công thức độ cao từ hai điểm A và B về đỉnh núi C có góc quan sát là \(h = \frac{d \cdot (tan(\alpha) + tan(\beta))}{(\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta))}\) cho \(d = 500 m\).

**Bài 4:**
Gọi:
- \(x\) là số trận thắng
- \(y\) là số trận hòa
- \(z\) là số trận thua

Ta có hệ phương trình:
\[
x + y + z = 20
\]
\[
3x + y = 41
\]
Kết hợp hai phương trình trên để tìm \((x, y, z)\) sao cho \(x\) chẵn.