Cho tam giác ABC có ∠A = 90°, kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC), các tia phân giác của các góc C và BAH cắt nhau ở I. Chứng minh rằng AI ⊥ IC

Để chứng minh rằng \( AI \perp IC \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các tia phân giác và các góc trong tam giác vuông.

1. **Tính chất của góc:**
- Trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), có \( \angle A = 90^\circ \).
- Gọi \( \angle CAB = \alpha \) và \( \angle ABC = \beta \). Khi đó, \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

2. **Kẻ phân giác:**
- Tia phân giác của \( \angle C \) cắt \( AB \) tại \( I \).
- Tia phân giác của \( \angle BAH \) là tia phân giác của góc \( \angle BAI \) và góc \( \angle IAH \) (vì \( AH \) vuông góc với \( BC \)).

3. **Tính chất của điểm \( I \):**
- Từ định nghĩa của tia phân giác, góc giữa tia phân giác của góc \( C \) và tia phân giác của góc \( BAH \) ở điểm \( I \) tạo thành hai phần bằng nhau với các góc bên cạnh.

4. **Chứng minh vuông góc:**
- Vì \( \angle A = 90^\circ \) và \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( AH \perp BC \).
- Khi đó, \( AI \) là tia phân giác của \( \angle BAH \), áp dụng định lý mật độ góc, ta có:
\[
\angle AIC = \frac{1}{2}(\angle BAI + \angle BAI + \angle ACI) = \frac{1}{2}(90^\circ + 90^\circ) = 90^\circ.
\]

5. **Kết luận:**
- Do đó, \( AI \perp IC \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AI \perp IC \).