Chúng ta bắt đầu giải phương trình:

\[
(7x - 11)^3 = 2^5 \cdot 5^2 + 200
\]

Trước tiên, hãy tính giá trị của \(2^5 \cdot 5^2 + 200\).

Tính \(2^5\):
\[
2^5 = 32
\]

Tính \(5^2\):
\[
5^2 = 25
\]

Giờ ta tính tích:
\[
2^5 \cdot 5^2 = 32 \cdot 25 = 800
\]

Bây giờ cộng thêm 200:
\[
800 + 200 = 1000
\]

Do đó, ta có phương trình:
\[
(7x - 11)^3 = 1000
\]

Bây giờ ta lấy căn bậc ba của cả hai bên:
\[
7x - 11 = \sqrt[3]{1000}
\]

Vì \(1000 = 10^3\), nên:
\[
\sqrt[3]{1000} = 10
\]

Vậy phương trình trở thành:
\[
7x - 11 = 10
\]

Giải phương trình này:
\[
7x = 10 + 11
\]
\[
7x = 21
\]
\[
x = \frac{21}{7} = 3
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
\boxed{3}
\]