Cho hình bình hành ABCD. M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của AB; Bzc; CD; DA. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán về hình bình hành \(ABCD\) với các trung điểm \(M, N, P, Q\) của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\), ta sẽ làm theo từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành

**Chứng minh MNPQ là hình bình hành:**

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử tòa độ của các điểm là:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, c) \)
- \( D(b, c) \)

2. **Tính tọa độ các trung điểm:**
- \( M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- \( N = \left( \frac{a + (a + b)}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( a + \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \)
- \( P = \left( \frac{(a + b) + b}{2}, \frac{c + c}{2} \right) = \left( a + b, c \right) \)
- \( Q = \left( \frac{0 + b}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \)

3. **Chứng minh tính đối xứng:**
- Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các đoạn \(MN\) và \(PQ\) song song và bằng nhau, đồng thời \(MP\) và \(NQ\) cũng song song và bằng nhau.
- Tính độ dốc:
- Đoạn \(MN: \frac{\frac{c}{2} - 0}{a + \frac{b}{2} - \frac{a}{2}} = \frac{c}{\frac{2a + b}{2} - \frac{a}{2}} = \frac{c}{\frac{a + b}{2}} = \frac{2c}{a + b} \)
- Đoạn \(PQ: \frac{c - \frac{c}{2}}{(a + b) - \frac{b}{2}} = \frac{\frac{c}{2}}{a + \frac{b}{2}} = \frac{2c}{2a + b} \)

- Từ đó có thể nhận thấy rằng các đoạn \(MN\) và \(PQ\) bằng nhau và song song, do đó chúng ta có thể kết luận rằng MNPQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh AC, BD, MD, NQ đồng quy tại 1 điểm

**Chứng minh đồng quy:**

1. **Xét các đường chéo AC và BD:**
- Phương trình đường thẳng AC có thể được viết dựa vào tọa độ của A và C.
- Phương trình đường thẳng BD cũng tương tự (dựa vào tọa độ của B và D).

2. **Xét các đường MD và NQ:**
- Đường MD: Đi qua M và D.
- Đường NQ: Đi qua N và Q.

3. **Tính giao điểm:**
- Do đặc điểm của hình bình hành, ta có thể thấy rằng các đường thẳng AC, BD sẽ cắt nhau tại trung điểm của đoạn nối giữa hai đường thẳng này, với điểm cắt trùng với điểm giao giữa hai đoạn MD và NQ.

**Kết luận:**
Điểm giao nhau sẽ là một điểm mà tại đó các đoạn thẳng của hình bình hành sẽ cắt nhau, từ đó ta có thể khẳng định rằng các đường AC, BD, MD và NQ đồng quy tại một điểm.

Hy vọng rằng những hướng dẫn trên sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về bài toán này!