Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = \frac{ab}{a^2 + b^2} + \frac{bc}{b^2 + c^2} + \frac{ca}{c^2 + a^2} \cdot \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \), với điều kiện \( a + b + c = 1 \), chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức như Cauchy-Schwarz và AM-GM.

### Bước 1: Xác định từng thành phần của biểu thức

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho phần \( \frac{ab}{a^2 + b^2} \):
\[
\frac{ab}{a^2 + b^2} \leq \frac{(a+b)^2}{2(a^2 + b^2)} = \frac{1^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
\]
Do đó, ta có
\[
S \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]

### Bước 2: Tìm điều kiện đạt được giá trị tối ưu
Giá trị bằng 1 đạt được khi \( a = b = c \). Với điều kiện \( a + b + c = 1 \), ta có:
\[
a = b = c = \frac{1}{3}
\]

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S \) bằng 1, đạt được khi \( a = b = c = \frac{1}{3} \).