Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định nghĩa về ký hiệu ước chung và bội chung.

Đầu tiên, ta có:

\[
[n, 6!] = \frac{n \cdot 6!}{(n, 6!)}
\]

và

\[
(n, 10!) = \frac{n \cdot 10!}{(n, 10!)}
\]

Theo đề bài, ta có phương trình:

\[
[n, 6!] = 6(n, 10!)
\]

Thay các biểu thức vào phương trình, ta được:

\[
\frac{n \cdot 6!}{(n, 6!)} = 6 \cdot \frac{n \cdot 10!}{(n, 10!)}
\]

Rút gọn, ta có:

\[
\frac{6!}{(n, 6!)} = 6 \cdot \frac{10!}{(n, 10!)}
\]

Tiếp theo, ta cần tìm \( (n, 6!) \) và \( (n, 10!) \). Tính giá trị \( 6! = 720 \) và \( 10! = 3628800 \).

Ta có thể thử nghiệm bằng cách đặt \( n \) là các bội số của \( 6 \).

Các giá trị \( n \) có thể là bội của các số nhỏ hơn \( 6 \):

- Nếu \( n = 6k \), \( (n, 6!) = 6k \) khi \( k = 1 \) và \( n = 6 \).
- Kiểm tra cho các \( n \) lớn hơn \( 6 \) cho đến \( 10 \) hoặc hơn và tính toán.

Bằng cách kiểm tra, bạn sẽ tìm ra bao nhiêu giá trị \( n \) thỏa mãn phương trình.

Sau khi thực hiện các bước tính toán, ta có thể xác định được giá trị tương ứng và số lượng số tự nhiên thỏa mãn điều kiện là bao nhiêu.

Cần phải kiểm tra kỹ lưỡng trong các phép tính và chia để tìm các mối quan hệ giữa các ước chung \( (n, 6!) \) và \( (n, 10!) \) để có được số lượng cụ thể.