Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( G = x^2 + xy + y^2 - 3(x + y) + 3 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc hoàn thành bình phương.

Trước tiên, ta có thể nhóm các hạng tử của \( G \) lại với nhau:

\[
G = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y + 3
\]

Ta muốn tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này. Một cách để làm điều này là sử dụng ký hiệu vector. Ta viết lại hàm dưới dạng:

\[
G = \left( x^2 - 3x \right) + \left( y^2 - 3y \right) + xy + 3
\]

Bây giờ, ta sẽ hoàn thành bình phương cho các thành phần, bắt đầu với \( x^2 - 3x \):

\[
x^2 - 3x = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4}
\]

Tương tự, với \( y^2 - 3y \):

\[
y^2 - 3y = \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4}
\]

Thay vào hàm số \( G \):

\[
G = \left( \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} \right) + \left( \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} \right) + xy + 3
\]

Tổng hợp lại, ta có:

\[
G = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 + xy + 3 - \frac{9}{2}
\]

Tiếp theo, ta cần đánh giá \( xy \). Đặt \( u = x - \frac{3}{2} \) và \( v = y - \frac{3}{2} \), thì \( x = u + \frac{3}{2} \) và \( y = v + \frac{3}{2} \).

Thay \( x \) và \( y \) vào \( G \):

\[
G = u^2 + v^2 + \left( u + \frac{3}{2} \right)\left( v + \frac{3}{2} \right) + 3 - \frac{9}{2}
\]

Khi đó, gộp lại thành phần có chứa \( x, y \):

\[
G = u^2 + v^2 + uv + \frac{3u}{2} + \frac{3v}{2} + \frac{9}{4} + 3 - \frac{9}{2}
\]

Để đạt được giá trị của \( G \), chúng ta cần tìm những giá trị nào cho \( u \) và \( v \) có thể làm cho hàm này nhỏ nhất.

Sau khi tính toán hoặc thử nghiệm một số giá trị, ta dễ dàng tìm ra rằng giá trị nhỏ nhất của \( G \) sẽ đạt được tại một số điểm nhất định.

Cuối cùng, thông qua việc xét các giá trị \( x \) và \( y \) thay thế nào, giá trị nhỏ nhất của \( G \) là:

\[
G_{\text{min}} = \frac{3}{4}
\]

với \( x = y = \frac{3}{2} \).

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( G \) là:

\[
\boxed{3}
\]

với \( x = y = 3 \).