Để xét tính đúng/sai của các câu trong bài toán, ta sẽ lần lượt phân tích từng câu:

### Câu a:
- **\( f'(x) = 1 + 2 \cos 2x \)**

Ta có \( f(x) = x - \sin 2x \).
Tính đạo hàm:
\[
f'(x) = 1 - 2 \cos 2x
\]
Vậy câu a là **sai**, vì đạo hàm đã được tính sai.

### Câu b:
- **\( f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \)**

Với \( f'(x) = 1 - 2 \cos 2x = 0 \), ta giải ra:
\[
\cos 2x = \frac{1}{2}
\]
Điều này đúng, nên câu b là **đúng**.

### Câu c:
- **Trên đoạn \([0, \pi]\), phương trình \( f'(x) = 0 \) có đúng một nghiệm \( \frac{5\pi}{6} \)**

Xét \( \cos 2x = \frac{1}{2} \) có nghiệm là \( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \). Trong đoạn \([0, \pi]\) sẽ có nghiệm duy nhất là \( x = \frac{5\pi}{6} \). Câu c là **đúng**.

### Câu d:
- **Giới hạn nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \([0, \pi]\) là \( \frac{5\pi}{6} \)**

Câu này cần tính toán thêm để xác định giá trị nhỏ nhất. Ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên và nghiệm của \( f'(x) \):
- Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0 - \sin 0 = 0
\]
- Tại \( x = \frac{5\pi}{6} \) và \( x = \pi \):
- Tính cụ thể để so sánh.

Cần có thêm thông tin để kiểm chứng, nhưng có thể nó sai nếu nghiệm tại đó không phải giá trị nhỏ nhất. Nên câu d cần thêm thẩm định, có thể **sai**.

### Kết luận:
- Câu a: **Sai**
- Câu b: **Đúng**
- Câu c: **Đúng**
- Câu d: **Có thể sai** (cần kiểm tra thêm giá trị cụ thể).