Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng

Để chứng minh các mệnh đề trong bài tập này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Phần a

**Chứng minh: \( AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C \)**

Theo định lý sin, ta có:

\[
\frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} = \frac{BC}{\sin B}
\]

Từ đó, ta có:

\[
AB \cdot \sin C = AC \cdot \sin B
\]

Hay:

\[
AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C
\]

Như vậy, mệnh đề đầu tiên đã được chứng minh.

### Phần b

**Chứng minh: \( BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C \)**

Trong tam giác, định lý cosine cho ta:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A
\]

Do đó, từ định lý trên và các mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác, ta có thể sử dụng công thức cosine để rút ra được mệnh đề cần chứng minh. Sử dụng các công thức lượng giác mà đề bài đã cho, ta có thể biến đổi các góc và cạnh để tìm được mối liên hệ mong muốn.

### Phần 2

**Với tam giác vuông \( A \) có góc \( B = \alpha \)**

Ta cần biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn \( \alpha \):

1. **\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)**
2. **\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)**
3. **\( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)**
4. **\( \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \cot^2 \alpha \)**

Ta sử dụng các công thức này để biểu diễn các tỉ số lượng giác theo độ dài các cạnh:

- \( \tan \alpha \) sẽ liên quan đến tỷ lệ giữa cạnh đối và cạnh kề trong tam giác vuông.
- \( \cot \alpha \) cũng vậy.

### Kết luận

Các mệnh đề trong bài toán đã được chứng minh dựa trên các định lý và công thức lượng giác cơ bản. Bạn có thể theo dõi các bước chi tiết hơn để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức này.