Để giải bài toán này, chúng ta cần chỉ ra chu vi của cả hình tam giác và hình chữ nhật, rồi tìm điều kiện cho chu vi của hình tam giác lớn hơn chu vi của hình chữ nhật.

**Chu vi của hình tam giác:**
Chu vi \( P_T \) của hình tam giác được tính bằng tổng độ dài ba cạnh:
\[
P_T = (x + 4) + (x + 2) + (x + 5) = 3x + 11
\]

**Chu vi của hình chữ nhật:**
Chu vi \( P_H \) của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
P_H = 2 \times (x + 1) + 2 \times (x + 3) = 2(x + 1 + x + 3) = 2(2x + 4) = 4x + 8
\]

**Điều kiện cho chu vi của hình tam giác lớn hơn chu vi của hình chữ nhật:**
Chúng ta có:
\[
3x + 11 > 4x + 8
\]

**Giải bất phương trình:**
Chuyển các hạng tử có chứa \( x \) về một bên và các hạng tử số về bên còn lại:
\[
3x + 11 - 8 > 4x
\]
\[
3 > x - 3
\]
\[
x < 3
\]

Từ đó, ta có điều kiện \( x > 0 \) và \( x < 3 \).

**Kết luận:**
Giá trị của \( x \) cần thỏa mãn \( 0 < x < 3 \).