Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tìm phương trình của đường thẳng BC, rồi xác định tọa độ của điểm I trên đoạn thẳng BC với điều kiện đã nêu.

### Bước 1: Tính phương trình đường thẳng BC

Cho hai điểm:
- B(-2, 3)
- C(3, -2)

Ta tính hệ số góc \( m \) của đoạn thẳng BC:
\[
m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-2 - 3}{3 - (-2)} = \frac{-5}{5} = -1
\]

Sử dụng phương trình điểm dốc, ta có:
\[
y - y_B = m(x - x_B) \implies y - 3 = -1(x + 2) \implies y - 3 = -x - 2 \implies y = -x + 1
\]

### Bước 2: Tìm tọa độ điểm I

Theo đề bài, điểm I thuộc BC và thỏa mãn điều kiện:
\[
\vec{MI} = \frac{2}{5} \vec{MB} + \frac{3}{5} \vec{MC}
\]

Ta phân tích lại điều kiện này:
\[
\vec{MI} = \vec{M} - \vec{I}, \quad \vec{MB} = \vec{M} - \vec{B}, \quad \vec{MC} = \vec{M} - \vec{C}
\]

Thay vào công thức:
\[
\vec{M} - \vec{I} = \frac{2}{5} (\vec{M} - \vec{B}) + \frac{3}{5} (\vec{M} - \vec{C})
\]

Khi rút gọn, ta có:
\[
\vec{M} - \vec{I} = \frac{2}{5} \vec{M} - \frac{2}{5} \vec{B} + \frac{3}{5} \vec{M} - \frac{3}{5} \vec{C}
\]
\[
\vec{M} - \vec{I} = \left(\frac{2}{5} + \frac{3}{5}\right)\vec{M} - \left(\frac{2}{5}\vec{B} + \frac{3}{5}\vec{C}\right)
\]
\[
\vec{M} - \vec{I} = \vec{M} - \left(\frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5}\right)
\]
Khi đó, ta có:
\(\vec{I} = \frac{2}{5} \vec{B} + \frac{3}{5} \vec{C}\).

### Bước 3: Tính tọa độ điểm I

Tọa độ điểm B là \((-2, 3)\) và tọa độ điểm C là \((3, -2)\). Tính tọa độ điểm I:
\[
I_x = \frac{2 \cdot (-2) + 3 \cdot 3}{5} = \frac{-4 + 9}{5} = \frac{5}{5} = 1
\]
\[
I_y = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2)}{5} = \frac{6 - 6}{5} = \frac{0}{5} = 0
\]
Do đó, tọa độ điểm I là \((1, 0)\).

### Bước 4: Tính S = a² + b²

Tọa độ điểm I là \((a, b) = (1, 0)\):
\[
S = a^2 + b^2 = 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1
\]

### Kết luận

Giá trị \( S = a^2 + b^2 = 1 \).