Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### Bước 1: Tính cạnh bên của hình lăng trụ

- Đáy hình lăng trụ là một tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là \( a = 3 \) cm và \( b = 4 \) cm.
- Cạnh huyền \( c \) được tính theo định lý Pythagoras:

\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

- Tổng độ dài các cạnh của hình lăng trụ là 45 cm. Đáy tam giác có ba cạnh là \( 3 \) cm, \( 4 \) cm, và \( 5 \) cm. Tổng độ dài các cạnh đáy:

\[
3 + 4 + 5 = 12 \text{ cm}
\]

- Tổng độ dài các cạnh bên (gọi là \( x \)) là:

\[
x = 45 - 12 = 33 \text{ cm}
\]

- Hình lăng trụ đứng có 3 cạnh bên, do đó chiều cao \( h \) của hình lăng trụ được tính bằng:

\[
h = \frac{33}{3} = 11 \text{ cm}
\]

### Bước 2: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ

- Diện tích đáy \( S_{đáy} \) (diện tích tam giác vuông):

\[
S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ được tính bằng công thức:

\[
S_{xung quanh} = P_{đáy} \cdot h
\]

Trong đó, \( P_{đáy} \) là chu vi của đáy:

\[
P_{đáy} = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 \text{ cm}
\]

Vậy:

\[
S_{xung quanh} = 12 \cdot 11 = 132 \text{ cm}^2
\]

- Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy:

\[
S_{toàn phần} = S_{xung quanh} + 2 \cdot S_{đáy} = 132 + 2 \cdot 6 = 132 + 12 = 144 \text{ cm}^2
\]

### Bước 3: Tính thể tích của hình lăng trụ

Thể tích \( V \) của hình lăng trụ được tính bằng công thức:

\[
V = S_{đáy} \cdot h
\]

Vậy:

\[
V = 6 \cdot 11 = 66 \text{ cm}^3
\]

### Kết quả
- Cạnh bên (chiều cao) của hình lăng trụ là: **11 cm**
- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: **132 cm²**
- Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: **144 cm²**
- Thể tích của hình lăng trụ là: **66 cm³**