Cho △ABC vuông tại A, E là trung điểm của BC. Kẻ EN ⊥ AB tại N, EM ⊥ AC tại M

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phần một của bài toán.

### a. Chứng minh tứ giác ANEM là hình chữ nhật.

Chúng ta đã biết rằng:

- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), nên \( AB \) vuông góc với \( AC \).
- \( E \) là trung điểm của \( BC \).
- \( EN \perp AB \) tại \( N \) và \( EM \perp AC \) tại \( M \).

Để chứng minh tứ giác \( ANEM \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có đủ 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

1. **Chứng minh \( AN \parallel EM \) và \( AM \parallel EN \)**:
- Do \( EN \perp AB \) và \( EM \perp AC \), nên \( AN \) là một cạnh của tứ giác \( ANEM \).
- Trong \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACE \), \( E \) là trung điểm của cạnh \( BC \) nên \( AE \) chia các cạnh \( AB \) và \( AC \) thành các đoạn thẳng bằng nhau.
- Do đó, các góc \(\angle AEN \) và \(\angle AEM \) vừa phải là các góc vuông, nên các cạnh \( AN \) và \( EM \) song song với nhau.
- Tương tự, ta có \( AM \parallel EN \).

2. **Chứng minh độ dài các cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- \( AN = EM \) (do \( EN \perp AB \) và \( EM \perp AC \)).
- \( AM = EN \).

Vậy tứ giác \( ANEM \) là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh tứ giác ABCF là hình bình hành.

- \( M \) là trung điểm của \( BF \) có nghĩa là \( BM = MF \).
- Ta đã biết rằng \( E \) là trung điểm của \( BC \).
- Kẻ đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \) tạo thành các góc vuông tại \( A \), có nghĩa là:
\[
AB \parallel CF \quad \text{và} \quad AC \parallel BF.
\]

Để chứng minh \( ABCF \) là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng \( AB \parallel CF \) và \( AC \parallel BF \).

1. **Chứng minh \( AB = CF \)**:
- \( C \) nằm thẳng hàng với điểm \( F \) theo định nghĩa hình bình hành.

2. **Chứng minh \( AC = BF \)**:
- \( E \) là trung điểm của \( BC \).

Vậy tứ giác \( ABCF \) là hình bình hành.

### c. Chứng minh tứ giác AECD là hình thoi.

- Ta đã biết rằng \( AD = CE \) và \( E \) là trung điểm của \( BC \).
- Từ \( CE = AD \), chúng ta có thể thấy rằng 4 cạnh \( AE, EC, CD, DA \) đều có chiều dài bằng nhau:
\[
AE = EC \quad \text{và} \quad AD = EC.
\]

Để chứng minh tứ giác \( AECD \) là hình thoi, chúng ta cần thêm một điều kiện nữa: Hai đường chéo \( AC \) và \( ED \) cắt nhau tại một điểm chính giữa.

Vì vậy, \( AECD \) là hình thoi khi có đủ điều kiện \( AD = CE \).

Kết luận: Cả ba phần của bài toán đều đã được chứng minh.