Cho hình thoi ABCD có AB=a, góc ABC=60 độ. Điểm G là trọng tâm tam giác ADC. Độ dài đoạn BG là?

Để tìm độ dài đoạn BG trong hình thoi ABCD với \(AB = a\) và \(\angle ABC = 60^\circ\), chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình thoi và điểm G, trọng tâm của tam giác ADC.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm A nằm tại gốc tọa độ \(A(0, 0)\).
- Điểm B sẽ nằm tại \(B(a, 0)\).
- Với \(\angle ABC = 60^\circ\), điểm C sẽ có tọa độ:
\[
C = \left(a + a\cos(60^\circ), a\sin(60^\circ)\right) = \left(a + \frac{a}{2}, a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)
\]
- Điểm D đối diện với điểm B, nên D sẽ có tọa độ:
\[
D = \left(0, a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

2. **Xác định tọa độ điểm G (trọng tâm tam giác ADC)**:
- Tọa độ trọng tâm G của tam giác có ba đỉnh A, C, D được tính bằng công thức:
\[
G_x = \frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \quad G_y = \frac{y_A + y_C + y_D}{3}
\]
- Thay tọa độ vào công thức:
\[
G_x = \frac{0 + \frac{3a}{2} + 0}{3} = \frac{3a/2}{3} = \frac{a}{2}
\]
\[
G_y = \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}
\]
- Vậy tọa độ G là:
\[
G\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)
\]

3. **Tính độ dài đoạn BG**:
- Tọa độ B là \(B(a, 0)\). Ta tính độ dài đoạn BG bằng công thức khoảng cách:
\[
BG = \sqrt{(x_B - x_G)^2 + (y_B - y_G)^2}
\]
- Thay vào:
\[
BG = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2 \cdot 3}{9}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{3}}
\]

4. **Tìm mẫu số chung**:
- Mẫu số chung của \(4\) và \(3\) là \(12\):
\[
BG = \sqrt{\frac{3a^2}{12} + \frac{4a^2}{12}} = \sqrt{\frac{7a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{21}}{6}
\]

**Vậy độ dài đoạn BG là \(\frac{a\sqrt{21}}{6}\)**.