Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi O là trung điểm của cạnh BC, vẽ các đường thẳng a và b. Sao cho a vuông góc BC tại B, b vuông góc BC tại C. Đường thẳng c vuông góc OA tại A cắt các đường thẳng a và b lần lượt tại M và N

Bài này yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học liên quan tới tam giác vuông ABC và các đường thẳng được vẽ.

### a) Chứng minh rằng điểm A, C, O, N cũng thuộc một đường tròn, có tâm K và bán kính bằng đường tròn này.

1. **Chứng minh O là trung điểm BC**: Gọi M là trung điểm của BC, kiểm tra tọa độ các điểm hoặc độ dài cạnh.

2. **Xác định tính chất của góc**:
- Tính chất góc trong tam giác vuông tại A: \( \angle ACB = 90^\circ \).
- Do đường thẳng c vuông góc với OA tại A, ta có \( AO \perp AN \).

3. **Sử dụng định lý về đường tròn**: Từ \( AO \) và \( AN \) vuông góc, suy ra rằng 4 điểm A, C, O, N luôn nằm trên một đường tròn với đường kính AC (do trung điểm của đoạn thẳng này tạo ra đường tròn).

### b) Gọi D là giao điểm của OM và AB, E là giao điểm của ON và AC. Chứng minh rằng ADE là hình chữ nhật và AM = AN * \(\frac{BC}{AC}\).

1. **Chứng minh ADE là hình chữ nhật**:
- Chứng minh \( DE \perp AB \) và \( DE \perp AC \) bằng cách kiểm tra tính vuông góc của các đường thẳng.
- Sử dụng tính chất của các giao điểm để thiết lập rằng DE song song và vuông góc với các hình chiếu.

2. **Tính AM và AN**:
- Sử dụng tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác vuông: \( AM/AN = BC/AC \) theo định nghĩa của độ dài đường thẳng và sử dụng hệ số tương tự trong các tam giác đấy.

### c) Gọi F là giao điểm của c với đường thẳng a, I là giao điểm của c với đường thẳng b. Chứng minh rằng O nằm trên BI và AN // c.

1. **Xác định giao điểm F và I**: Chứng minh F và I là giao điểm của đường thẳng a và b với đường thẳng c, và chứng minh tọa độ các điểm này thông qua phương trình đường thẳng.

2. **Áp dụng tính song song**:
- Từ các góc phía nội hình, chứng minh AN // c và O nằm trên đường thẳng BI bằng cách sử dụng các tính chất vuông góc đã được chứng minh ở trên.

### Kết luận
Bằng cách sử dụng các tính chất cơ bản của hình học, định lý tam giác, và tính chất đường tròn, bạn có thể hoàn tất các chứng minh theo yêu cầu. Hãy áp dụng các bước cụ thể và kiểm tra kỹ lưỡng các khối lượng hình đã thiết lập.