Để tính độ dài đoạn thẳng \( AH \) trong tam giác vuông \( ABC \), bạn sẽ sử dụng định lý tỷ lệ trong tam giác vuông.

1. Gọi \( AB = 3x \) và \( AC = x \).
2. Do \( AB : AC = 3 : 1 \), ta có:
\[
AB + AC = BC \implies 3x + x = 170 \implies 4x = 170 \implies x = 42.5 \text{ cm}
\]
3. Vậy \( AB = 3x = 3 \times 42.5 = 127.5 \text{ cm} \) và \( AC = x = 42.5 \text{ cm} \).

Tiếp theo, áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( AHC \):
\[
AH^2 + HC^2 = AC^2
\]
Với \( HC \) là phần của đoạn thẳng \( BC \):
\[
BC = AB + AC \implies HC = BC - AB = 170 - 127.5 = 42.5 \text{ cm}
\]

Như vậy, \( HC = 42.5 \text{ cm} \) và \( AC = 42.5 \text{ cm} \).

Giờ dùng công thức:
\[
AH^2 + (42.5)^2 = (42.5)^2 \implies AH^2 = (42.5)^2 - (42.5)^2 = 0
\]
Điều này không đúng. Do đó bạn cần phải kiểm tra lại hoặc áp dụng một công thức khác.

Ta có:
\[
BC = AH + HC \implies 170 = AH + 42.5
\]
Vậy:
\[
AH = 170 - 42.5 = 127.5 \text{ cm}
\]

Kết quả là \( AH = 127.5 \text{ cm} \), nhưng thông thường nhìn lại ta chọn các lựa chọn gần nhất của câu hỏi cho:

Đáp án gần sát đúng là:
B. 125 cm.