Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta sẽ lần lượt phân tích các đa thức đã cho.

1. **Phân tích đa thức \(9y^2 - 4x^2\)**:
Đây là một dạng của hiệu hai bình phương, có thể viết lại như sau:
\[
9y^2 - 4x^2 = (3y)^2 - (2x)^2
\]
Áp dụng công thức hiệu hai bình phương \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), ta có:
\[
9y^2 - 4x^2 = (3y - 2x)(3y + 2x)
\]

2. **Phân tích đa thức \(x^3 + 2x^2 + x\)**:
Đầu tiên, ta nhận thấy có thể lấy \(x\) làm yếu tố chung:
\[
x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1)
\]
Tiếp theo, biểu thức bên trong có thể được phân tích tiếp, vì \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\):
\[
x(x^2 + 2x + 1) = x(x + 1)^2
\]

3. **Phân tích đa thức \(x^2 + 2xy + y^2\)**:
Biểu thức này cũng là một bình phương hoàn hảo, có thể viết thành:
\[
x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
\]

4. **Phân tích phương trình \(x^2 - 4x + 4 - y^2 = 0\)**:
Trước tiên, chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau:
\[
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
\]
Do đó, phương trình trở thành:
\[
(x - 2)^2 - y^2 = 0
\]
Ở đây cũng có thể áp dụng công thức hiệu hai bình phương:
\[
(x - 2)^2 - y^2 = ((x - 2) - y)((x - 2) + y) = 0
\]

Tóm lại, các kết quả phân tích như sau:
1. \(9y^2 - 4x^2 = (3y - 2x)(3y + 2x)\)
2. \(x^3 + 2x^2 + x = x(x + 1)^2\)
3. \(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\)
4. \(x^2 - 4x + 4 - y^2 = ((x - 2) - y)((x - 2) + y) = 0\)