Để giải quyết bài toán của bạn, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### Phần 1: Giải phương trình \(X^2(x+5) - 4(x+5) = 0\)

Phương trình có thể được điều chỉnh lại như sau:

\[
(X^2 - 4)(x + 5) = 0
\]

Điều này tức là \(X^2 - 4 = 0\) hoặc \(x + 5 = 0\).

1. Với \(X^2 - 4 = 0\):
\[
X^2 = 4 \implies X = 2 \quad \text{hoặc} \quad X = -2
\]

2. Với \(x + 5 = 0\):
\[
x = -5
\]

Vậy các giá trị của \(x\) là \(x = 2\), \(x = -2\) và \(x = -5\).

### Phần 2: Giải bất phương trình \(2x^2 - 3x + 4 > 0\)

Để giải bất phương trình này, ta cần xác định nghiệm của phương trình \(2x^2 - 3x + 4 = 0\).

Tính delta (\(\Delta\)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm, và hàm bậc 2 này luôn lớn hơn 0 (do hệ số a = 2 > 0).

Vậy bất phương trình \(2x^2 - 3x + 4 > 0\) đúng với mọi giá trị của \(x\).

### Phần 3: Tìm giá trị nhỏ nhất

#### a) Hàm \(A = x^2 - 4x + 6\)

Xét phương trình:
\[
A = (x^2 - 4x + 4) + 2 = (x - 2)^2 + 2
\]

Hàm này có giá trị nhỏ nhất khi \((x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là:
\[
A_{\min} = 0 + 2 = 2.
\]

#### b) Hàm \(B = y^2 - y + 1\)

Xét phương trình:
\[
B = (y^2 - y + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}
\]

Hàm này có giá trị nhỏ nhất khi \(\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}\). Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là:
\[
B_{\min} = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}.
\]

#### c) Hàm \(C = x^2 - 4x + y^2 - y + 5\)

Tối ưu cho \(C\):
\[
C = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - y + \frac{1}{4}) + 1 = (x - 2)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{19}{4}
\]

Hàm này có giá trị nhỏ nhất khi \((x-2)^2 = 0\) và \(\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = 0\), tức là \(x = 2\) và \(y = \frac{1}{2}\). Giá trị nhỏ nhất của \(C\) là:
\[
C_{\min} = 0 + 0 + \frac{19}{4} = \frac{19}{4}.
\]

### Kết luận:

- Các giá trị của \(x\) từ phương trình: \(x = 2\), \(x = -2\), \(x = -5\).
- Bất phương trình \(2x^2 - 3x + 4 > 0\) đúng với mọi \(x\).
- Giá trị nhỏ nhất:
- \(A_{\min} = 2\)
- \(B_{\min} = \frac{3}{4}\)
- \(C_{\min} = \frac{19}{4}\)