Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn ab+bc+ca=abc và a+b+c=1. Chứng minh rằng: (a-1).(b-1).(c-1)=0

Để chứng minh rằng \((a-1)(b-1)(c-1) = 0\), chúng ta có thể xem xét hai điều kiện đã cho:

1. \(ab + bc + ca = abc\)
2. \(a + b + c = 1\)

Bắt đầu từ điều kiện thứ hai, từ \(a + b + c = 1\), chúng ta có thể bày tỏ \(c\) theo \(a\) và \(b\):
\[ c = 1 - a - b \]

Chúng ta thay giá trị \(c\) vào điều kiện đầu tiên:
\[
ab + b(1 - a - b) + a(1 - a - b) = ab(1 - a - b)
\]
Rút gọn và thay thế qua lại:
\[
ab + b - ab - b^2 + a - a^2 - ab = ab - a^2b - ab^2
\]
\[
b - b^2 + a - a^2 = -a^2b - ab^2
\]
Tổ chức lại phương trình:
\[
a + b - a^2 - b^2 + ab = 0
\]

Giờ chúng ta sẽ kiểm tra ba trường hợp cụ thể liên quan đến \(a, b, c\) để tìm phương án thực tế cho \( (a-1)(b-1)(c-1) = 0\).

### Trường hợp 1: Giả sử \(a = 1\)
Nếu \(a = 1\), ta có:
\[
b + c = 0 \quad \text{(vì } a + b + c = 1\text{)}
\]
Nên \(c = -b\).

Ta thay vào điều kiện đầu tiên:
\[
ab + bc + ca = abc
\]
\[
1 \cdot b + b(-b) + 1 \cdot (-b) = 1 \cdot b \cdot (-b)
\]
\[
b - b^2 - b = -b^2
\]
Điều này là đúng, xác nhận việc \( (a-1) = 0\).

### Trường hợp 2: Giả sử \(b = 1\)
Tương tự, nếu \(b = 1\):
\[
a + c = 0 \quad \rightarrow c = -a
\]
Thực hiện phép thay tương tự như trường hợp 1 ta sẽ thấy \( (b-1) = 0\).

### Trường hợp 3: Giả sử \(c = 1\)
Cuối cùng, nếu \(c = 1\):
\[
a + b = 0 \quad \rightarrow b = -a
\]
Cũng thực hiện tương tự, ta thấy \( (c-1) = 0\).

Từ ba trường hợp trên, chúng ta có thể thấy rằng ít nhất một trong ba biến \(a\), \(b\), hoặc \(c\) phải bằng 1, tức là:

\[
(a-1)(b-1)(c-1) = 0
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng \((a-1)(b-1)(c-1) = 0\).