Cho hình bình hành ABCD. Trên AB, DC lần lượt các điểm M và N sao cho AM = CN. Chứng minh rằng: Tứ giác AMCN là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành cho tứ giác \( ABCD \) đã cho, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành

1. **Đặt các điểm:**
- Gọi \( AM = CN = x \).
- Do đó, \( MB = AB - x \) và \( ND = CD - x \).

2. **Tính chất của hình bình hành:**
- Tứ giác là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

3. **Xét các cạnh:**
- Vì \( AB = CD \) (đặc trưng của hình bình hành), ta có:
\[
AM + MB = CN + ND
\]
- Thay \( MB = AB - x \) và \( ND = CD - x \):
\[
x + (AB - x) = x + (CD - x)
\]
- Từ đó, \( AB = CD \) khiến các cặp cạnh là:
- \( AM = CN \)
- \( AN = CM \)

4. **Kết luận:**
- Do đó, \( AMCN \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( AN = CM \)

1. **Sử dụng tính chất hình bình hành:**
- Cũng từ hình bình hành \( ABCD \), ta có \( AN + CN = AB \) và \( AM + CM = CD \).
- Vì \( AM = CN \) nên:
\[
AN + AM = CM + CN
\]
- Thay \( AM = CN \):
\[
AN + AM = CM + AM \implies AN = CM
\]

### c) Gọi \( O \) là trung điểm của \( BD \)

1. **Chứng minh rằng \( O \) là trung điểm của \( MN \):**
- Vì \( O \) là trung điểm của \( BD \) nên sẽ có:
\[
OB = OD
\]
- Từ đó, với \( AMCN \) là hình bình hành, ta có các điểm đối xứng.
- Khi đó, để chứng minh \( O \) là trung điểm của \( MN \), ta áp dụng tính chất hình bình hành, theo đó:
\[
AO = OC \text{ và } AM = CN
\]

### Kết luận:

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng:

- Tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành.
- Hai cạnh đối diện \( AN \) và \( CM \) bằng nhau.
- Điểm \( O \) là trung điểm của \( MN \).

Từ những điều này, ta hoàn thành bài toán.